在概率统计和其他应用学科中会经常用到伽玛函数和贝塔函数，有的反常积分的计算最后也会归结为贝塔函数或伽玛函数。贝塔函数又称为 B 函数，需要注意这里 B 是大写希腊字母Beta而不是大写英文字母；贝塔函数又称为第一类欧拉积分，而第二类欧拉积分就是大名鼎鼎的伽玛函数Γ(x)。当P>0且Q>0时贝塔函数收敛。贝塔函数具有很好的性质，以及实用的递推公式，另外需要注意的是伽玛函数和贝塔函数之间的关系。

在概率统计和其他应用学科中会经常用到伽玛函数和贝塔函数，有的反常积分的计算最后也会归结为贝塔函数或伽玛函数。贝塔函数又称为第一类欧拉积分，伽玛函数也可称为第二类欧拉积分。

对任意实数

称该函数为贝塔函数，或 Beta 函数，B 函数。

当P<1 时，是以 为瑕点的无界函数反常积分；当 时，是以 为瑕点的无界函数反常积分，应用柯西判别法可证得当 时，这两个无界函数反常积分都收敛，所以贝塔函数的定义域为 。

贝塔函数在定义域 内连续。

证明：由于对任何 成立不等式 ，而积分 收敛，故由魏尔斯特拉斯 M 判别法可知贝塔函数在定义域 内连续。

推导过程：

令 ，得： 。

（1） ；

（2） ；

（3） 。

根据斯泰林公式，当P，Q比较大时，我们有近似公式 。

（1）令 ，则有： 。

（2）令 ，则有 。

（3）考察 ，令 ，则有： ，

故有： 。

与伽玛函数的关系

（1）对于任意的正实数 ，有关系表达式： 。

（2）当P、Q都是正整数时，我们可以将结果写成 ，其中 是二项式系数。

（3） 。

与不完全贝塔函数关系

（1） ，很显然当 x 取1时，结果就变成完全的贝塔函数了。

（2）不完全贝塔函数和对应贝塔函数的比值 构成了归一化的贝塔函数。而它正好是满足贝塔分布的随机变量的分布函数。