泛函分析中研究算子的谱的理论。算子的谱的概念是有限维矩阵的特征值概念的推广。力学、物理和工程技术中的大量问题在一定的条件下可以归结为数学上代数方程、微分方程、积分方程或微分积分方程等的求解问题。在对这些方程求解问题的研究获得丰富成果的基础上，逐渐形成了一般的算子的谱的理论（这里主要指线性算子）。

谱论通过分析线性算子谱的性质来研究该算子的结构。例如，用简单算子重新构造该算子、研究算子不变子空间的性质、算子在一定范围的函数演算等。

谱论是泛函分析的一个极为重要分支。对于有限维空间上的算子，其谱论就是研究对应矩阵的本征值、本征空间以及若尔当分解等性质。无限维空间上紧线性算子的谱理论有些类似于有限维情况。例如，紧算子的谱集是至多可数的且 0 是唯一可能的聚点。

希尔伯特空间上的正规算子都有谱分解。微分算子的谱理论是谱理论的重要方面，在微分方程、量子力学等理论中有着广泛的应用。

巴拿赫空间上具有某种谱分解性质的一类算子，它是若尔当型矩阵在无穷维空间的一种推广。 自共轭的常微分方程的边值问题的研究发展成希尔伯特空间上自伴算子（或自共轭算子）的谱论，这是20世纪数学上的重大成就。