自由振动是指在外力使弹簧振子的小球和单摆的摆球偏离平衡位置后，它们就在系统内部的弹力或重力作用下振动起来，不再需要外力的推动。
相关背景
作
振动的系统在外力的作用下物体离开
平衡位置以后就能自行按其
固有频率振动，而不再需要外力的作用，这种不在外力的作用下的振动称为自由振动．理想情况下的自由振动叫无
阻尼自由振动．自由振动时的周期叫固有周期，自由振动时的频率叫固有频率．它们由振动系统自身条件所决定，与振幅无关．
与受迫振动区别：
受迫振动也称强迫振动．在外来周期性力的持续作用下，振动系统发生的振动称为受迫振动．这个“外来的周期性力”叫驱动力(或强迫力)．物体的受迫振动达到稳定状态时，其振动的频率与驱动力频率相同，而与物体的固有频率无关．
而自由振动能自行按其
固有频率振动，而不再需要外力的作用
公式推导
力学系统受初始扰动后，不再受其他激励而在其平衡位置附近的振动。由于介质阻尼和内耗都看作是属于振动系统的，因此自由振动也包括有阻尼力的振动。最简单的自由振动就是简谐振动。其次是有阻尼力的单自由度线性振动（见线性振动）。对于多自由度的自由振动，由于振动过程发生在系统稳定的平衡位置邻近，若取平衡位置为广义坐标的原点，这时系统的动能T和势能V可近似地表为：
式中q为广义坐标；m为质量；k为刚度。作用在系统上还有与阻尼力类似的耗散力。这种力学系统的运动方程为：
，（j=1，2，…，n） （1）
式中F为瑞利耗散函数，；L=T－V为拉格朗日函数。
对于保守系统，F=0，式（1）变成完整保守系统的拉格朗日方程：
。（j=1，2，…，n）
应用上式于多自由度保守系统的自由线性振动，可得振动方程：
， （2）
式中
它们分别为质量矩阵、刚度矩阵和广义位移矢量。
这种保守系统的振动特色是由各广义位移作简谐振动而形成的。可设主振动为：q=usin（ωt+）， （3）
式中，称为主振型矢量；q和u都可看作列矩阵。将式（3）代入式（2）并约去sin（ωt+），得：
上式称为特征矢方程，而称为特征矩阵。式（4）有非零解的条件为：
式（5）称为特征方程；从式（5）可解出n个（i=1，2，…，n）。将代入式（4）后，可解得对应于的n个。称固有频率（主频率），或特征值；称固有振型（主振型）或特征矢量。当K和M为n阶实对称矩阵，且M正定时，存在n个实特征值和相应的n个特征矢量，故式（2）的特解可写为：
式中和是待定常数，由初始条件决定。例如已知t=0时的和，则有：
从而可求出和（i=1，2，…，n）。