自由变元(free variable)是一种
变元，指在一个公式中自由出现的变元。自由变元的一个重要特征是取值不确定，则所在公式的值也不确定。
基本介绍
定义
在一个谓词公式中，形如 或 的部分称为x的约束部分。 、 后面所跟的x称为量词的指导变元或作用变元。P(x)称为相应量词的辖域或作用域。在作用域中x的一切出现，称为约束出现，x称为约束变元。若x的出现不是约束出现，则称为自由出现，x称为自由变元。
自由变元是不受约束的变元，虽然它有时也在量词的作用域中出现，但它不受相应量词中指导变元的约束。
注意点
对约束变元和自由变元有如下说明：自由变元是不受约束的变元，虽然它有时也在量词的作用域内出现，但它不受相应量词中指导变元的约束．故我们可把自由变元看做公式中的参数。若一个公式中的所有变元均呈约束出现而无自由出现，则此公式是确定的，能够判别其真假。所以，呈约束出现的变元已经由不确定转化为确定的了。从约束变元的概念可以看出， 是n元谓词，它有n个相互独立的自由变元，若对其中k个变元进行约束则成为n-k元谓词，因此，谓词公式中如果没有自由变元出现，则该公式就成为一个命题。
主要题型
为了正确地理解谓词公式，必须准确地判断出量词的作用域以及哪些是自由变元，哪些是约束变元。一般地，判断量词的作用域要看其后是否跟有括号，若有括号，则括号内的子公式为相应量词的作用域，否则与量词邻接的子公式为其作用域。判断给定公式中的个体变元是约束变元还是自由变元，关键看它是自由出现还是约束出现。
例题说明
例1 指出下列公式的指导变元、作用域、约束变元和自由变元。
(1)
(2)
(3)
解：
(1) x是指导变元， 的作用域为 ；y也是指导变元， 的作用域为 。在该作用域 中，x是自由出现，y是约束出现。在 的作用域 中，x、y都是约束出现。
(2) x是指导变元，相应量词 的作用域为 ，从左向右算起，变量x的第一、二次出现是约束出现，x的第三次出现是自由出现。变量y、z的出现都是自由出现。
(3) x、y是指导变元， 的作用域是 ， 的作用域是 ， 的作用域是 。x的最后一次出现为自由出现，其余为约束出现，y的第一次出现为约束出现，第二次出现为自由出现。变元z为自由出现。
受量词约束的个体变元称为约束变元。
例2 “x是整数”可以表示为 。它是一个命题函数，而不是命题，不能判断真假。故x是自由变元。