《自守函数论》是十九世纪群论在函数论中的应用，其理论是几何学、代数学、复分析、微分方程解析理论交叉的产物，体现了数学的统一性。

自守函数理论不但在分析中是重要的，而且在某些工程问题上都有直接重要的应用。本文目的是考察这一伟大理论的历史背景、发展过程以及现状，从内史和微观方法论的角度进行系统综合地研究，以期给现代数学研究提供借鉴意义。

从理论发展来看，自守函数理论的渊源来自两个方面，一个是微分的一个是积分的。

18世纪是分析的世纪，人们在大力拓展微积分发明而产生的诸多分支之时，第一个目标就是扩展微积分的主要内容，比如说发展微积分的技巧。James Bernulli, Leibniz, Euler等在研究钟摆、拉杆等弹性问题时遇到了类似于求椭圆和双曲线弧长中的那些无理函数积分，成为椭圆积分。这些问题经常遇到，因而吸引了许多数学家来研究。Legendre是这方面的权威，在分析椭圆积分性质方面做了重要的工作。Gauss1801年的《算术研究》也有一些研究。挪威数学家Abel和法国数学家Jacobi，两人几乎同时（1827）独立得到了从椭圆积分的反函数来着手研究的关键性想法，即研究椭圆函数。他们两人进行了一系列的开创性工作，如发现椭圆函数的双周期性、引进了椭圆积分的反演、引入theta函数构造椭圆函数等等。进一步发展就明显体现出自守函数的前身了。具有代表性的是Weierstrass的研究中，用theta级数构造椭圆函数时，发现了与模群相伴的自守性质的函数，可以用它来构造出所有的Weierstrass类椭圆函数。Gauss的遗稿中发现了对此问题的深入研究。

那个时代的实践中（风帆、振动薄膜、行星运动）提出了许多类型的二阶线性微分方程（James Bernulli, Bessel, D.Bernulli, Euler, Fourier, Poisson, Legendre, lame, Weber, Gauss）。其中最重要的就是超几何方程，它是以0、1和无穷作为奇点的二阶线性常微分方程。Euler给出了级数解；Gauss仔细研究了收敛性，深刻了解了其本性。十九世纪中期常微分方程的研究走上了一个新的历程―――奇点理论。Briot和Bouquet发现一阶微分方程奇点邻域内有特别的级数形式解。奇点理论很快就被推广到高阶情形。为了知道解在奇点内的性态，Riemann提出了一个天才的思想（1857）：从关于单值群的知识导出这些函数的性质。Fuchs以此为指导，从1865年起研究n阶微分方程问题，他把整个微分方程的理论普遍移植到复变量情形。

Kelin的发展的几何函数论中，涉及到有限变换群，推广到无限也导致自守函数

Kelin关于自守函数的研究始于1874年，当他看到Poincaré 1881年初发表的3篇关于自守函数的短文时，开始与之通信。从1882年9月到1882年9月，两人一共写了25封信，进行了友好的“竞争”，一直到1882年Klein病倒为止。

Klein 阅读广泛； 继承前人成果 单值函数及其上的线性变换； 连续群； Riemann方式 单值化

Poincaré 孤立研究； 开创性 微分方程 函数群与基本域； 引入非欧度量 微分方程的解； 单值化

Poincaré的工作

Poincaré 1878年博士论文中以及到卡昂大学工作后考虑了复数域上的微分方程理论，这个问题是当时常微分理论的中心话题。此刻的权威人物是Fuchs，他于1866年成功刻画出一类解有固定奇点的线性微分方程，此后解决了一系列的相关问题，包括某些椭圆积分和模函数问题。受Fuchs 1880年的一系列论文的吸引，Poincaré开始研究Fuchs理论，并且在与Fuchs的通信中产生了自守函数理论。Poincaré的工作简单概括如下：

刻划了函数群同基本域之间的关系

以椭圆函数理论为指导，发明了一类新的自守函数――Fuchs函数

把分式线性变换扩充到复数域上，得到了Klein群

用新的自守函数理论来解决仅有正则奇点的任意阶具有代数系数的常微分方程

用自守函数理论导出一般的单值化定理

Klein的工作

Klein关于代数函数的几何理论涉及到有限变换群，推广到无限离散变换群上便导致自守函数。他于1874年起开始研究Riemann的著作，自称是他的学生，把其的重要的几何思想融入复变函数论，同时研究模函数理论。Klein的主要工作为：

把方程论的主要思想几何化

引进模函数的概念l 研究线性分式变换群Г同基本域的关系

研究Г的同余子群同数论的某些联系

证明了边界圆定理，即一般的单值化定理

（1）国际上传播伴随着Poincaré和Klein的工作，一个特定的时期结束了。他们开辟了自守函数论的方向，其后的发展是在两个人奠定的基础上完善、拓展，进一步研究艰深的Klein群和Klein函数，由单复变推广到多复变。其影响力可以从Hilbert的23个问题上可见一斑：第21、22问题就是关于自守函数的。

（2）在中国华罗庚是中国解析数论、典型群、矩阵几何、自守函数与多复变函数论等方面研究的创始人与开拓者。他在《美国年刊》（1944）上发表的“矩阵变数的自守函数理论”可以说是现在发展很热的“辛几何”的先导。1946年华先生赴美普林斯顿高级研究所，同年在美国《数学年刊》上发表的“多复变函数的自守函数”成为经典之作，为研究自守函数的名家必引用。多复变自守函数理论已经成为现代数学最重要的研究方向之一。