罗巴切夫斯基平行公理(Lobachevskian axiom of parallels)是罗巴切夫斯基几何中最重要的公理，简称罗氏平行公理。即存在直线a及不在a上的一点A，过A点至少有两条直线与a共面且不相交，罗氏平行公理是欧氏平行公理的反面命题。

公理1 若已知直线L与不在L上的一点P、在L与P确定的平面内，有以P为公共端点且不共线的两射线PA与PB不与直线L相交，但在这两射线之间的每一射线都与L相交。

定义1. 由公理1保证存在的两射线PA与PB的每一条叫做过已知点P、从P到A的方向与从P到B的方向平行于已知直线L，并记作PA//L和PB//L。

定义2. 如果一直线它包含过已知点P而平行于已知直线的一射线，就说这直线过P与射线同向平行于已知直线。

定义3. 有两条射线， 如果第一条射线过已知点而平行于由第二条射线所在的直线，且在由两射线端点确定的直线的同侧，就说这两条射线在同一方向平行。

定理1. 设P是不在直线L上的一点， 在P点与L确定的平面内，过P且与L相交的射线仅仅是过P平行于L的两射线之间的射线。

证明：如图1：

设射线PA与PB是过P平行于直线L的两射线， 要证明只有在PA与PB之间的射线才与L相交，过P的其他射线都与L不相交。

1) PA与PB的反向射线PA'与PB' [如图1(a)]不与L相交，否则直线PA与直线PB与L相交，这与定义2相矛盾。

2) 在射线PA'与PB'之间的射线与L不相交。 否则如图1(b)，射线PC'与L交于Q'其反向射线PC与L交于Q，直线CC'与L有公共点Q'和Q，这与公理2相矛盾。

3) 在射线PB'与PA之间的射线不与L相交。否则如图1(c)，射线PE'与PE都与L相交于R和S，那么射线PA必与L相交，这与假设相矛盾。同理可证在射线PA'与PB之间的射线不与L相交。

于是除PA与PB之间的射线外，过P的射线都不与L相交。

证毕。

从定理1可以看出，直线PA与直线PB把过点P的直线分为两类，在对顶角∠APB与∠A'PB'之间的直线都与L相交，在对顶角∠APB'与∠BPA'之间的直线都与L不相交，前一类直线叫做对于L的会聚直线，后一类直线叫做对于L的离散直线，加上直线PA与直线PB，过P点在平面内对于L有会聚，离散和平行三种直线存在。

系若PA是过点P平行于直线L的射线，且射线PC与L相交，则射线PA与PC之间的任一射线都与L相交。

定理2.若P是不在直线L上的一点，F是从P到L的垂足，射线PA与PB是过点P平行于L的两射线，则∠APF=∠BPF。

证明：若∠APF不合同于∠BPF，则有一角必大于另一角，令∠APF>∠BPF (如图2)则

1) 在∠APF的内部有一射线PC, 使得∠CPF ∠BPF，因而∠BPF=∠CPF<∠APF。

2) 射线PC是在射线PF与PA之间，必与L交于一点Q。

3) 在射线FQ的反向射线上取一点R，使FRFQ则△PFQ=△PFR (边、角、边)

故，∠FPQ≥∠FPR。

4) 但∠FPQ∠FPB,因此∠FPR∠FPB,根据相应公理，射线PR与PB重合。这是不可能的，因为射线PR与L相交， 而射线PB平行于L，所以∠APF∠BPF，同理∠APF∠BPF，故得∠APF∠BPF。

系1． 若射线PA与PB是过P点平行于直线L的两射线，F是从P到L的垂足；则∠APF与∠BPF都是锐角。

(提示：因为∠APB<2直角)

系2． 若射线PA不与直线L相交，但在射线PA与PF(F是L上任一点)之间的任一射线都与L相交，则射线PA过P平行于L。

(提示：反证，设PA不平行于L，则平行于L的另一射线必落在PA么的两侧)

系3． 若点P是不在直线CM上的任一点，过P在直线PC的M一侧有唯一射线PA平行于CM。

(提示：反证，设过P还有一射线PA'//CM．则PA'必在PA的两侧。)

系4. 若不共线的两射线PA与PB，每一条都是过P点平行于同一直线L，则∠APB的平分线垂直于L。

(提示:反证，设角平分线不垂直于L，则∠APB有两条不同的角平分线。)

系5. 若射线PA//L与射线P'A'//L'，PF与P'F'分别是从P与P'到L与L'的距离，且PF=P'F，则∠APF =∠A'P'F'。

(提示: 反证，设∠APF∠A'P'F'，则∠APF∠A'P'F'又∠APFA'P'F'。)

从定理2和它的系可以看出：

过已知点对于已知直线有右平行射线或直线，以及有左平行射线或直线。平行公理1指出， 过已知点对于已知直线有唯一的右平行射线或者有唯一的左平行射线。

定义4. 若射线PA//L，F是从P到L的垂足，锐角∠APF叫做对于距离PF=d的平行角。距离PF叫做对于锐角∠APF的平行距。 由定理2知，平行距相同的两平行角合同。

定理3.一 条直线过一已知点，在一已知方向平行于一已知直线，则过这直线上的每一点在已知方向平行于已知直线。

定理4. 若直线AB平行于直线CD，且点B、D在直线AC的同侧，则直线CD平行于AB。

定理5.若直线AB//CD,CD//EF,则AB//EF。

定义6. 有三直线AB, CD和EF.若AB//CD// EF,就说它们在同一方向平行。

定理6. 有两条平行直线被另一直线所截，同位角不合同。

系1. 两条平行直线被另一直线所截，则内错角不合同。

系2. 两条平行直线被另一直线所截，在同一平行方向的一侧，同旁内角和小于2直角。

系3. 两条直线被另一直线所截，如果有一双同位角合同，或一双内错角合同，或一双同旁内角互补，那么这两条直线既不相交也不平行(离散直线)。

定理7. 若a, b, c是三条直线，它们在同一方向平行，且b在a,c之间， 若从b上一点到a与c的垂直线段合同，则从b上任一点到a与c的垂直线段合同。