绍凯积分表示理论(Choquet theory of integralrepresentation)是基于凸集和凸锥理论的积分表示理论。在紧凸集情形，绍凯积分表示定理是克列因-米尔曼定理的推广。

绍凯积分表示理论(Choquet theory of integralrepresentation)是基于凸集和凸锥理论的积分表示理论。在紧凸集情形，绍凯积分表示定理是克列因-米尔曼定理的推广。它断言，对于局部凸空间中的紧凸集K中的任何x∈K，都存在K的端点集extK上的概率测度μx， 使得对于任何x*∈X*，有：

当K是有限维时，它恰好归结为紧凸集中的每一点都是其端点的凸组合(闵科夫斯基定理)。这一定理可推广到凸锥情形。该凸锥要求可用紧凸集生成，或者说，它的基是紧凸集。于是这样的凸锥中的每一点都可用端射线锥的基上关于概率测度的积分来表示。许多经典的积分表示定理可归结为这一定理的特例。例如，关于正定函数的积分表示的博赫纳定理就可用绍凯理论来证明。

设C是R的子集，如果对任意两点x1∈C，x2∈C，连结它们的线段仍在C中，即若x1，x2∈C，则α1x1+α2x2∈C，α1+α2=1，α1≥0，α2≥0，称C为凸集。

空集，单个点，圆盘，实心三角形，全空间R都是凸集。

超平面 H={x：x∈Rn，CTx=b}；

闭半空间 H0={x：x∈Rn，CTx≥b}；

开半空间 H0={x：x∈Rn，CTx>b}；

超球 Sα(x0)={x：ㄧx∈Rn，‖x-x0‖≤α}；α为已知数，x0∈Rn，这些都是凸集，其中b是已知数，C是已知向量且不为0。

极点：若凸集C中的点x不能成为C中任何线段的内点，称x为C的极点。极点一定是边界点。四面体的顶点，圆周上的点都是极点。

凸集可用如下代数性质来刻画：

C⊂Rn为凸集，点x1，x2，…，xn∈C，则它们的凸组合x=α1x1+α2x2+…+αnxn∈C。

凸集的交仍是凸集，如果C，D是R中的两个凸集，则C+D={x+y|x∈C，y∈D}和λC={λx|x∈C}都是凸集。

在数学规划中，许多重要结果能够利用凸集的分离定理来证明。这些定理论述R中两个不交的非空凸集C1和C2，对于它们存在超平面H使C1落在H的一侧，而C2落在H的另一侧。这样的超平面称为C1和C2的分离平面。

凸锥是一类特殊的凸集。实线性空间中既是凸集又是锥的集合称为凸锥。凸锥C满足C+C⊂C。对于X中的任何子集A，由它生成的凸锥是其元素的所有正线性组合的全体。而当A是凸集时，由A生成的凸锥就是λA。如果凸锥C满足C∩(-C)={0}，那么经常用它来定义实线性空间中的半序关系。对于x，y∈X， 定义x≥y为y∈x+C。则≥满足：

1.x≥x。

2.x≥y，y≥x⇒x=y。

3.x≥y，y≥z⇒x≥z。

凸集中的特殊点，它使该凸集去掉它后仍是凸集。设A为实线性空间X中的凸集。a∈A是A的端点的充分必要条件：如果存在x1，x2∈A，使得a=(x1+x2)/2，那么x1=x2=a。局部凸空间中的紧凸集一定是其端点集的闭凸包(克列因-米尔曼定理)。 当空间是有限维时，上述结果中闭凸包可改为凸包(闵科夫斯基定理)。这一结果也就是说，紧凸集中的每一点都可用关于端点的凸组合来表示。“无限”凸组合可用关于概率测度的积分来表示。由此就引起绍凯积分表示定理：局部凸空间中的紧凸集中的每一点都可通过在端点集上定义一概率测度，使得该点有积分表示。

端点概念可以推广为一般的端子集。例如，对于凸锥可定义端射线为该凸锥去掉它后仍是凸锥.绍凯积分表示定理可推广到凸锥情形。这时绍凯积分表示理论就与函数类的积分表示理论紧密联系起来。

端点在线性规划理论中也起重要作用.每一线性规划的解一定在它的可行集的端点上达到。因此，只需比较目标函数在端点上的值就可求得规划的解。这正是单纯形方法的基本思想。