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线性近似

数学术语

在数学中，线性近似是指使用线性函数对一般函数进行近似处理的方法。线性近似就是用线性函数对普通函数进行近似。这个线性函数称为仿射函数。

定义

所谓线性近似，也叫线性逼近，主要作用是把一个复杂的非线性函数用一个简单的线性函数来表示。

假设一般函数上存在点(a, f(a))，当x接近a时，可以使用函数在a点的切线作为函数的近似线。函数L(x)≈f(a)+f'(a)(x-a)即称为函数f在a点的线性近似或切线近似。

例如，有一个实数变量的可导函数f，根据n=1的泰勒公式，

其中是余数。舍去余数就是线性近似：

当x无限接近于a的时候这个等式成立。

图1的表示是f在点 (a,f(a)) 处的切线，因此这个过程也叫作切线近似。

我们也可以对以向量作为变量的向量函数作线性近似，这时在该点的导数用雅可比矩阵代替。例如，一个有实数变量的可导函数，可以用函数在接近的点处的值来近似，

方程右侧是在点处的平面切线。

在更具普遍意义的巴拿赫空间上，

其中是函数在处的Fréchet 导数。

示例

线性近似的方法在寻找函数近似值时有很大作用：

例1.求的值。

1) 设函数，问题化为求的值，

2）可以得到

3）根据线性近似

4）结果 2.926 非常接近于实际值 2.924。

几何意义

线性近似求解的是近似值，其几何意义是在基点的切线近似于原函数的曲线。

以f(x)=lnx为例，根据公式，在x0=1，，曲线和切线如图2所示：

在x0=1点附近，曲线近似于直线，x越接近x0，二者的近似度越高。在讨论近似时，只有指定基点才有意义。这很容易理解，x越远离x0，曲线和直线的差距越大；同时，当基点不同时，切线的斜率也不同。

常用线性近似公式

x0=0时，常用的线性近似值：

1）；

2)；

3)；

4)；

5)。

参考资料

最新修订时间：2023-06-02 14:50

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