线性积分方程
数学术语
线性积分方程(linear integral equation)是积分方程的主要研究对象,若方程中未知函数包含在积分号下,这个方程称为积分方程。当积分方程中的未知函数是一次时,就称为线性积分方程。
定义
线性积分方程的一般形式是
其中 是未知函数, , 和 都是已知函数, ,a,b是常数,变量 和 可取区间(a,b)内的一切值。 称为积分方程的核, 称为自由项, 称为方程的参数。若 =0,则称该积分方程为齐次积分方程,否则称为非齐次积分方程。
线性积分方程与数学的其他分支有紧密而重要的联系,例如,微分方程、泛函分析复分析计算数学、位势理论和随机分析等。甚至它的形成和发展是很多重要数学思想和概念的最初来源和模型。例如,对泛函分析中平方可积函数、平均收敛、算子等的形成,对一般线性算子理论的创立,以至於对整个泛函分析的形成都起着重要的推动作用。积分方程论中许多思想和方法,例如,关於第二种弗雷德霍姆(Fredholm)积分方程的弗雷德霍姆理论奇异积分方程诺特(Noether)理论以及逐次逼近方法,本身就是数学中经典而优美的理论和方法之一。
分类
线性积分方程可分为一维弗雷德霍姆积分方程( 方程)、n维弗雷德霍姆积分方程、沃尔泰拉积分方程等。其中一维弗雷德霍姆积分方程( 方程)又分为三类:
第一类 方程:
第二类 方程:
第三类 方程:
n维弗雷德霍姆积分方程:
式中,D是n维空间中的区域, ,它们的坐标分别是 和 。其中 , 和 是已知函数, 是未知函数。关于 方程的解法,一维和n维(n>1)完全类似。
发展
D.希尔伯特和E.施密特对第二种弗雷德霍姆积分方程做了重要的工作,特别是关于对称核积分方程特征值存在性,对称核关于特征函数序列的展开,以及希尔伯特 -施密特展开定理等。至于第一种弗雷德霍姆积分方程,早在1828年就为G.格林在研究位势理论以解决拉普拉斯方程狄利克雷问题时所导出。
线性积分方程理论的发展,始终与数学物理问题的研究紧密相联,它在工程、力学等方面有着极其广泛的应用。通常认为,最早自觉应用线性积分方程并求出解的是阿贝尔(Abel),他在1823年研究质点力学问题时引出阿贝尔方程。此前,拉普拉斯(Laplace)于1782年在数学物理中研究拉普拉斯变换的逆变换以及傅里叶(Fourier)于1811年研究傅里叶变换的反演问题实际上都是解第一类积分方程。随着计算技术的发展,作为工程计算的重要基础之一,线性积分方程进一步得到了广泛而有效地应用。如今,“物理问题变得越来越复杂,线性积分方程变得越来越有用”。线性积分方程与数学的其他分支,例如,微分方程、泛函分析、复分析、计算数学、位势理论和随机分析等都有着紧密而重要地联系。甚至它的形成和发展是很多重要数学思想和概念的最初来源和模型。例如,对泛函分析中平方可积函数、平均收敛、算子等的形成,对一般线性算子理论的创立,以至於对整个泛函分析的形成都起着重要的推动作用。线性积分方程论中许多思想和方法,例如,关于第二种弗雷德霍姆(Fredholm)积分方程的弗雷德霍姆理论和奇异积分方程的诺特(Noether)理论以及逐次逼近方法,本身就是数学中经典而优美的理论和方法之一。
参考资料
(高等数学)积分方程.豆丁文档.2010-7-29
最新修订时间:2022-08-25 14:27
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概述
定义
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