如果对角形矩阵A中
主对角线上的
元素全为k，则A=kE，E为
单位阵，则称A为纯量矩阵。又或者，可以这么描述：纯量矩阵是指主对角线上的元素都相同，其余元素都为0的矩阵。
定义
如果对角形矩阵A中
主对角线上的
元素全为k，则A=kE，E为
单位阵，则称A为纯量矩阵。又或者，可以这么描述：纯量矩阵是指主对角线上的元素都相同，其余元素都为0的矩阵。其数学表达形式如下：
矩阵A正好是在 的任一基中对应于比为k 的 的同位相似的矩阵。
映射k↦kE是从交换体K到全体n阶纯量矩阵之集上的同构。
性质
定理1
设A是数域F上n阶矩阵，则下列命题等价：
(1) A是纯量矩阵；
(2) A与F上任一n阶矩阵都可换；
(3) A的任一相似阵必是A本身；
(4) 设(表示 i 行 j 列的元素为1，其余元素全为0的n阶矩阵，)；
(5) 设同(4)，则；
(6) 设n阶矩阵：
则：AH=HA，AH'=H'A（H'为H的转置矩阵）；
(7) 设n阶矩阵：
则：AU=UA，AU'=U'A（U'为U的转置矩阵）；
(8)设n阶矩阵U同(7)且：
则：AU=UA，AL=LA；
(9)设n阶矩阵U同(7)，且：
则：AU=UA，AQ=QA。
定理2
设A是数域F上n阶矩阵，则下列命题等价：
(1) A是纯量矩阵；
(2) A的极小多项式是一次的；
(3) A的不变因式都相等；
(4) A的不变因式都是一次的；
(6) A的初等因子全相等，且因子个数等于n；
(7) A的初等因子全相等，且A的初等因子全体等于A的不变因子全体。
定理3
设A是数域F上n阶矩阵，V是F上n维向量空间，线性变换A在基下的对应阵是A，则下列命题等价：
(1) A是纯量矩阵；
(2) A是纯量变换，即(，是V的恒等变换)；
(3) 设B是V的任一线性变换，则AB=BA；
(4) A在V的任一基下所对应的矩阵仍是A；
(6) V的任一一维子空间都是A的不变子空间；
(7) 设V的基为，则都是A的不变子空间；都是A的不变子空间。
引理及定理
引理
引理 1：如果数域F 上 n 阶方阵A 与任意n阶方阵的乘法是可交换的，那么 A 一定是纯量矩阵。
引理 2：数域F 上 n 阶方阵A 为纯量矩阵的充要条件是 A 与任何 n 阶可逆矩阵的乘法可交换。
定理
（1）定理 1：数域F 上 n 阶方阵 A 为纯量矩阵的充分必要条件是：A 与所有行列式为 1 的n阶矩阵可交换。
（2）定理 2：数域 F 上 n 阶方阵 A 为纯量矩阵的
充分必要条件是中的每个非零向量都是它的特征向量。
（3）定理 3：数域 F 上 n 阶方阵 A 为纯量矩阵的充分必要条件是 A 的不变因子都不是常数。
根据定理 3 和
行列式因子、初等因子、不变因子的关系，容易得到：
1）推论 1：数域 F 上 n 阶方阵 A 为纯量矩阵的充分必要条件是 A 的不变因子都是一次的。
2）推论 2：数域 F 上 n 阶方阵 A 为纯量矩阵的充分必要条件是 A 的 k 阶行列式因子都是 k 次的。
3）推论 3：数域 F 上 n 阶方阵 A 为纯量矩阵的充分必要条件是 A 的初等因子都相等，且 A 的初等因子组
为 A 的不变因子全体。
数域 F 上 n 阶矩阵的相似是一个等价关系，在相似关系下， A 的等价类称为 A 的相似类。
（4）定理 4：数域 F 上 n 阶方阵 A 为纯量矩阵的充分必要条件是 A 的相似类里只有一个元素。