《纯粹分析的证》（Rein analytischer Beweis）是一本西方近代数学著作，作者是波尔查诺。

本书是分析严格化过程中的一个里程碑，其中波尔查诺首次给出了对分析基础的正确处理方法.

19世纪初，数学家主要关心两个重要问题，即欧几里得平行公设的地位和给数学分析提供严密的基础问题.波尔查诺对此均有建树，当然，他并不是惟一的一个，也不是第一个关心数学分析基础的人，但他在此问题上超过了他以前的所有数学家，尽管他们可能比波尔查诺有更丰富的技巧.在《纯粹分析的证明》中，波尔查诺致力于如下重要定理的证明:对两个连续函数f和甲，若f ＜(a) ＜ ＜p＜(a)，且f户＞抓a＞，则在a和a之间存在一个x，使f(x)一抓(x).他首先注意到以前的证明都或多或少地依赖于几何直观，这是他极力想摆脱的.这一点表明他在分析基础严格化方面采取了正确的道路.波尔查诺认为该定理的严格证明需要预先给出连续函数的可靠定义.他在文中的确给出了一个这样的定义，这是第一个不牵涉无穷小的、关于函数连续性的定义，因而极为重要，该定义至今仍被采用.在他以后的著作《函数论》第一卷中，他把该定义更精确地表述如下:若取△x足够小时，如果F(x+x)一F (x)的绝对值小于任一给定的分数1/N，且当△x取更小的值时，仍然如此，则函数F(x)称为是(在x处)连续的.波尔查诺并且区分了左、右连续.在定理的证明中他利用了一个引理，即建立了有界实数集的最小上界的存在性:如果某一性质M不能适用于一变量x的所有值，但小于某一量u的所有x都具有性质M，则存在一量U，它是所有这样的量u的最大值.这在后来被证明是实数理论的基石.波尔查诺对这个引理的证明的实质是，把有界区间分成两部分，而选取包含集合的无穷多个元素的那一部分，然后重复这一手续，直到他得到给定实数集的最小上界为止.德国数学家外尔斯特拉斯(Weierstrass , K. ＜T. W. )在19世纪60年代应用波尔查诺的方法证明了外尔斯特拉斯一波尔查诺定理.

《纯粹分析的证明》是走向分析严格化的极为重要的一步，但可惜的是这项工作被忽视达半个世纪之久，直到19世纪下半叶人们才充分认识到它的重要性.

波尔查诺（Bolzano , B.），捷克数学家、哲学家。

1817年出版于布拉格。