算术-几何平均是一种特殊平均，即算术平均与几何平均的合成平均，设a0=a>b=b0>0，an=1/2(an-1+bn-1)，bn=√(an-1·bn-1)，则an和bn有共同的极限，这个极限称为a，b的算术-几何平均，一般记为AMG(a，b)，这是由高斯(C.F.Gauss)命名的。

算术几何平均不等式n个正数的算术平均

不小于它们的几何平均

即

式中当且仅当时取等号。

算术几何平均设a和b是两个正数，定义数列和如下

这里。由算术几何平均不等式，明显地，．根据数学归纳法容易证明数列是递减的，而是递增的，等价于

清楚地，

进而得到

因此，这两个数列有共同的极限，即

我们称该极限为a和b的算术-几何平均AGM(a，b)，也有一些文献用AG(a，b)表示这个平均.。Lagrange和Gauss首先研究了这个平均，但是这个平均真正的重要性以及与椭圆积分的联系属于Gauss，有时也称这个平均为Gauss算术-几何平均。

设

定理 (Gauss)

证明 作变量代换，则

因此，

也就是说，我们获得。根据归纳法，并注意到是(a，b)的连续函数，我们得到，这里m=AGM(a，b)，清楚地，

因此(2)式成立。(2)中的两个积分称为椭圆积分。给出AGM的运算规则(1)称为Gauss运算规则。