简单合取式是一类合取式,它含有一个变元及其否定的合取式。
定义
p,┐q等为一个文字构成简单析取式,p∨┐p,┐p∨q等为2个文字构成的简单析取式,┐p∨┐q∨r, p∨┐q∨r等为3个文字构成的简单析取式。
┐p,q等为一个文字构成的简单合取式,┐p∧p,p∧┐q等为2个文字构成的简单合取式,p∧q∧┐r, ┐p∧p∧q等为3个文字构成的简单合取式。
应该注意,一个文字既是简单析取式,又是简单合取式。为方便起见,有时用A1,A2,…,As表示s个简单析取式或s个简单合取式。
简单合取式的重要特点是它的成真指派很容易找到,且它的永假性也容易判定一个简单合取式是永假的,当且仅当它至少含一个变元及其否定。
定理与证明
(1)一个
简单析取式是
重言式当且仅当它同时含某个命题变项及它的否定式。
(2)一个简单合取式是
矛盾式当且仅当它同时含有某个命题变项及它的否定式。
证明:设Ai是含n个文字的简单析取式,若Ai中既含有某个命题变项pj,又含有它的否定式┐pj,由交换律、排中律和零律可知,Ai为重言式。反之,若Ai为重言式,则它必同时含某个命题变项及它的否定式,否则,若将Ai中的不带否定号的命题变项都取0,带否定号的命题变项都取1,此赋值为Ai的成假赋值,这与Ai是重言式相矛盾。类似的讨论可知,若Ai是含n个命题变项的简单合取式,且Ai为矛盾式,则Ai中必同时含有某个命题变项及它的否定式,反之亦然。
如:p∨┐p,p∨┐p∨r都是重言式。 ┐p∨q,┐p∨┐q∨r都不是重言式。