竖曲线是指在线路纵断面上，以变坡点为交点，连接两相邻坡段的曲线。竖曲线有凸形和凹形两种。道路纵断面线经常采用直线(又叫直坡段)、竖曲线两种线形，二者是纵断面线形的基本要素。

在道路纵断面上两个相邻纵坡线的交点，被称为变坡点。为了保证行车安全、舒适以及视距的需要，在变坡处设置竖曲线。竖曲线的主要作用是：缓和纵向变坡处行车动量变化而产生的冲击作用，确保道路纵向行车视距；将竖曲线与平曲线恰当地组合，有利于路面排水和改善行车的视线诱导和舒适感。

竖曲线技术指标主要有竖曲线半径和竖曲线长度。凸形的竖曲线的视距条件较差，应选择适当的半径以保证安全行车的需要。凹形的竖曲线，视距一般能得到保证，但由于在离心力作用下汽车要产生增重，因此应选择适当的半径来控制离心力不要过大，以保证行车的平顺和舒适。一般城市干路相邻坡段的坡度小于0.5%或外距小于5cm时，可以不设置竖曲线。

竖曲线的最小半径与设计速度有关，凹形竖曲线最小半径为100M，凸形竖曲线为100M。

拉坡后，坡度差已知，变坡点高程已知，切线上各点和高程也就知道了。选定竖曲线半径R，用竖距计算公式求出切线上各点的竖距，切线高程减竖距就是竖曲线高程。竖距公式如下：h=距离的平方除以两倍的半径

高速公路计算

在公路纵断面设计过程中，竖曲线设计的本质就是根据纵坡变化的大小、设计车速、行车视距来确定竖曲线 的长度。在满足《公路路线设计规范》( 以下简称《规范》) 要求且造价增加不大的情况下，适当选择较大的竖曲线对于保证纵坡度的平滑过渡、行车安全，畅通是非常有利的。就行车舒适、高速运行的角度考虑，要求纵坡小一些为好，但从路面排水的角度考虑，又要求有一定的纵坡。按照《规范》要求，公路纵坡不宜小于 0.3% ，横向排水不畅的路段或长路堑路段，采用平坡 0% 或小于0.3% 的纵坡时，其边沟应做纵向排水设计。

竖曲线内任意点纵坡的分析

1） 竖曲线表达式

路线设计中的竖曲线，可采用抛物线形式，也可采用圆曲线形式，但为了简化计算，圆曲线方程最终还是可简化为抛物线方程，因此，竖曲线的方程采用抛物线方程是没有异议的。

2）结论

无论凹形竖曲线还是凸形竖曲线，竖曲线上各点纵坡均能满足最小纵坡要求；无论凹形竖曲线( 即全凹竖曲线) 还是凸形竖曲线( 全凸竖曲线) ，竖曲线上中间一部分纵坡不能满足最小纵坡要求。

竖曲线在实际应用中的效果分析

1）竖曲线半径的应用

在高速公路线形设计中，竖曲线长度与平曲线长度相比较，竖曲线对道路线形平顺性与连续性影响更大一些。在设置竖曲线时，人们习惯于选择较大的竖曲线半径 R。《规范》要求，相邻纵坡代数差小时，应采用大的竖曲线半径； 设计速度大于或等于 60 km /h 的公路，有条件时宜采用大于或等于视觉所需要的竖曲线半径值。

采用视觉所需要的竖曲线最小半径值，对于全凸竖曲线，小于最小纵坡要求的路段长度均大于设计速度的 3s 行程。而对于全凹竖曲线，小于最小纵坡要求的路段长度达到设计速度的3s 行程的 70% 左右。

《公路项目安全性评价指南》中对平纵面线形组合定性评价检查的原则为： 在凸形竖曲线的顶部或凹形竖曲线的底部，不得插入小半径平曲线，该处的竖曲线半径与平曲线半径的的比值不宜小于 20； 否则，应按驾驶人的视线高度作透视图检查，结合运行速度和视距要求，确保视距范围内不出现暗凹，也应避免在前方更远视线上出现暗凹。

2） 坡度差的影响

《公路设计指南》指出： 当平、纵指标较低，坡度反向( 即出现全凹或全凸) 且坡差较大时，应强调平、纵组合设计。这样，又可能出现较长的不满足最小纵坡要求的路段。

为保证行车平稳安全、视觉顺畅，全凹或全凸竖曲线其坡差至少应满足：ω >0.6% ，同时，全凹或全凸竖曲线最好不要出现平曲线内。

路线设计中的竖曲线，可采用抛物线形式，也可采用圆曲线形式，为了简化计算，圆曲线方程最终还是可简化为抛物线方程，因此，竖曲线的方程采用抛物线方程是没有异议的。那么，竖曲线的抛物线方程是怎样的，同时推导竖曲线的要素公式。

竖曲线的作用

设置竖曲线有以下作用：

1） 起缓冲作用： 缓和纵向变坡处由于行车动量的变化而产生的冲击作用。

2） 保证公路纵向的行车视距： 主要解决凸形竖曲线处视距不良的问题。

3） 将竖曲线与平曲线恰当组合， 有利于路面排水和改善行车的视线诱导和舒适感。

竖曲线的线形

竖曲线可以采用二次抛物线或圆曲线，为了方便计算，圆曲线方程最后也可简化为二次抛物线方程，采用的是二次抛物线形作为竖曲线。采用的形式是抛物线的纵轴保持直立，且与两相邻纵坡线相切。

总结

采用二次抛物线作为竖曲线形式，采用的形式是抛物线的纵轴保持直立，且与两相邻纵坡线相切。抛物线竖曲线有两种可能的形式：一种是包含竖曲线顶 (底 )部的，一种是不包含竖曲线顶(底 )部的。但是，不管采用哪种形式的抛物线竖曲线形式，竖曲线的要素计算公式都是相同的。

为了提供竖曲线上无砟轨道设计的理论依据，对列车动荷载对竖曲线桥上带减振扣件整体道床轨道动力学特性的影响进行研究。基于多体系统动力学和轮轨系统动力学的基本原理，简化建立列车−轨道−桥梁系统垂向振动空间模型，计算分析不同速度、坡度代数差和桥梁竖曲线半径对列车和轨道结构动力学特性的影响规律。

列车−轨道−桥梁垂向耦合振动空间模型

桥上的整体道床采用承轨台整体道床结构并与桥梁通过门型钢筋浇筑混凝土固结连接，这使整体道床和桥梁形成一整体。因此，线路考虑钢轨、整体道床和桥梁的相互作用等效为考虑钢轨和桥梁的相互作用。由于竖曲线凹凸变坡点主要影响列车的垂向振动，因此只考虑车辆、轨道和桥梁的垂向振动。

将车辆简化为由轮对、转向架及车体组成的刚体系统。通过阻尼器和弹簧模拟刚体与刚体之间的各种减震装置和悬挂。每个转向架构架和车体各具有沉浮、侧滚和点头 3个位移，每个轮对具有沉浮和侧滚2个位移，总自由度共计 17个；钢轨简化为一个无质量的黏弹性力元，轨道和桥梁结构简化为柔性系统，并通过模态综合法来实现柔性体桥梁和轨道的动力学仿真。

动力特性的影响

1）坡道间设置圆曲线型的竖曲线

列车速度为80 km/h 和100 km/h 时对车辆轮重减载率和钢轨垂向动位移基本无影响，此时轮轨相互作用仍然由随机不平顺激励起主导作用。但是，随着坡度代数差的增大，车体、构架和轮对的垂向加速度增幅明显，此时车辆系统各动力响应由线路坡度代数差起主导作用。当列车速度达到160 km/h 时，轮轨相互作用和车辆系统各动力响应共同由线路坡度代数差起主导作用。当列车速度为 80 km/h 且坡度代数差为 28‰时，车体最大垂向加速度达 0.152g；当列车速度为 100 km/h 且坡度代数差为 18‰时，车体最大垂向加速度达0.135g；当列车速度为160 km/h 且坡度代数差为18‰时，车体最大垂向加速度达 0.141g，轮重减载率达 0.613，均超过规范限值，此时列车行驶舒适性差且有潜在倾覆危险。

2）坡道间不设置圆曲线型的竖曲线

不设置圆曲线的坡度代数差对轮轨垂向力以及构架和轮对垂向加速度的影响相较设置圆曲线时大，此时轮轨相互作用和除车体外的车辆系统各动力响应共同由线路坡度代数差的大小决定。

凹凸变坡点竖曲线半径动力特性的影响

大于 2km的竖曲线半径对轮重减载率影响很小，此时轮轨垂向作用由随机不平顺激励起主导作用。但是，竖曲线半径的改变对车体加速度影响显著，此时车辆系统各动力响应共同由竖曲线半径的大小决定。