空间旋转变换(rotation transformation in space)是一种特殊的几何变换，指空间的所有点绕同一直线旋转同一角度的变换，亦称特征正交变换，是一种特殊的正交变换，n维欧氏空间正交变换的行列式只能是1或-1，行列式等于1的正交变换称为旋转变换，又称第一种正交变换；行列式等于-1的正交变换称为非特征的，亦称第二种正交变换，两个旋转或两个第二种正交变换的乘积是旋转变换；旋转与第二种正交变换的乘积是第二种正交变换。

一个空间到其自身的变换，如果它满足下述条件，就叫作绕轴a，旋转角为φ的空间旋转。

(1)对于空间的任一点P及其对应点P'，同在垂直于直线a的平面M上；

(2)两点P，P'到直线a的距离相等，即OP=OP'(如图1所示)。

(3)由OP到OP'的旋转方向规定为，当φ>0，就表示右手拧螺旋往轴的正向前进时的方向；如果φ<0，就表示用右手拧螺旋往轴的逆向前进时的方向，这里∠POP'=φ。

在绕轴旋转角φ的空间旋转变换下，平面变成平面、直线变直线，平行的平面或平行的直线其平行性不变。

一个图形F，如果绕某个轴旋转一定角φ后仍变为其自身，这里 （m是自然数， ），且满足上述条件的最小的旋转角，那么这个图形F叫做n次旋转自对称图形。

空间旋转变换是一种特殊的几何变换，指空间的所有点绕同一直线旋转同一角度的变换。旋转变换简称旋转，是欧氏几何中的一种重要变换，即在欧氏平面上(欧氏空间中)，让每一点P绕一固定点(固定轴线)旋转一个定角，变成另一点P′，如此产生的变换称为平面上(空间中)的旋转变换，此固定点(固定直线)称为旋转中心(旋转轴)，该定角称为旋转角。旋转是第一种正交变换，在平面直角坐标系中，若旋转中心为点M0(x0，y0)，点P(x，y)绕M0旋转定角θ后变成点P′(x′，y′)，则平面上旋转变换的代数表达式为

旋转变换的逆变换也是旋转变换，两个绕同一点(同一轴线)的旋转变换的乘积仍是旋转变换，所有绕同一点(同一轴线)的旋转变换的全体构成一个群，称为旋转群，在旋转变换下，两点间的距离与两直线的交角均保持不变，旋转变换的概念可以推广到n维欧氏空间。绕O(0，0，…，0)点旋转的代数表达式为

或用矩阵表示为：(x′i)=(aij)·(xi)，其中aij为常数，且(x′i)，(xi)均为n×1矩阵，矩阵(aij)是行列式等于1的正交矩阵。

定理 对于空间两次平面反射 的积，

(1)如果两反射面 与 重合，则为恒等变换；

(2)如果两反射面 ，则为平移变换；

(3)如果两反射面相交，则为旋转变换。

如果一个图形F在合同变换f下对应于图形F'，那么称图形F与F'合同。

我们不难发现，合同变换下，两个对应图形F与F'的边界方向(顺时针方向或逆时针方向)或者是一致的，或者是反向的。因此，按照对应图形的边界方向可以将合同变换分为两类：将使得对应图形F与F'的边界方向相同的合同变换称为第一类合同变换(如图2)，而将使得两个对应图形F与F’边界方向相反的合同变换称为第二类合同变换(如图3)。因而，我们将在第一类合同变换下的对应图形F与F‘称为真正合同，而把第二类合同变换下的对应图形F与F'称为镜像合同。

利用上述分类方式，我们容易得到，平移变换、旋转变换(即两个反射变换的乘积)是第一类合同变换，而反射变换是第二类合同变换。

既然平移变换、旋转变换是两个反射变换的乘积变换，那么(自然的思考)，合同变换是否也是几个反射变换的乘积变换呢?

我们猜测并可以证明：

性质1任一合同变换至多可以表示为三个反射变换的乘积。

证明设合同变换ω由三对不共线的对应点A与A'，B与B'，C与C'所确定(图4)。

作AA’的垂直平分线 ，那么，在以 为反射轴的反射变换下，△ABC变为△A'B1C1(若点A与A'重合，则没有必要施行 )。此时，AB=A'B1=A'B'。

再作线段B1B'的垂直平分线 ，则点A'必在 上，以 为反射轴的反射变换 将△A'B1C1变为△A'B'C2(如果B1与B'重合，也没有必要施行变换 。此时A'C'=AC=A'C1=A'C2，B'C'=BC=B1C1=B'C2。

最后作线段C'C2的垂直平分线 ，点A'、B'必在直线 上。在反射变换 的作用下，△A'B'C2变为△A'B'C'(若点C'与C2重合，则不必施行变换 ，于是，

即

综上所述，对于第一类合同变换，总可以表示为两个反射变换的乘积；对于第二类合同变换，总可以表示为一个反射变换或三个反射变换的乘积，于是得下表：