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积分因子

数学名词

对于微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0，如果存在连续可微函数μ(x,y)，可以使μMdx+μNdy=0成为恰当方程，即μMdx+μNdy=du，则称μ为该微分方程的积分因子。求解积分因子的常用方法主要由观察法、积分法和分组法。

定义

由于恰当方程可以比较方便的求出通解，于是人们想到能否将一非恰当方程化为恰当方程呢？由此就引入了积分因子的概念。

如果存在连续可微函数，使得

为一恰当方程，即存在函数，使

则称为方程的积分因子。这时即为方程的通解，因而也就是方程的通解。

存在性

可以证明，只要方程有解存在，则必有积分因子存在，且不是唯一的。

事实上，设该方程有通解，对其微分可得

与原方程对比可得

从而，。由此可见，即为方程的积分因子。

例如，可以取中的任何一个函数作为积分因子。

确定方法

为方程的积分因子的充分必要条件为

或

对于此一阶线性偏微分方程，在一般情况下，要据此求出的表达式是比较困难的。以下仅对某些特殊情况介绍几种常用的求积分因子的简便方法。

观察法

对于某些比较简单的微分方程，借助常用的全微分公式，可以直接写出方程的积分因子。如上面所说的可以取中的任何一个函数作为积分因子。

积分法

设方程存在积分因子，则方程变为，因为与无关，所以方程有解的充要条件是：仅与有关。设，则

同理方程有形如的积分因子的充要条件是：

从而

分组法

如果是方程的一个积分因子，使得，则也是该方程的一个积分因子，其中是的任一可微非零函数。

利用上述定理使分组求积分因子的方法一般化。如果方程左端可以分成两组，即

设两组分别有积分因子使得

则是第一组的积分因子，是第二组的积分因子。如果能找到适当的可微函数，使得，那么就是所找的积分因子。

参考资料

最新修订时间：2024-11-19 11:20

条目作者

概述

定义

存在性

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