与积分相似：连续(或非连续可积)函数的连续和为积分，连续相乘即为积乘。

与积分相似：连续(或非连续可积)函数的连续和为积分，连续相乘即为积乘。

表示函数f(x)从a至b的积乘。其中的a,b表示f(x)中x的上下限，表示维度。而积分中的上下限表示高一维比低一维多出的那一维上的坐标。两者性质不同。

积乘可转换为普通函数

可积乘函数有

积乘表示维度上的连续变化。

于积分类似，其也可以分为不定积乘与定积乘，其也有逆运算。

其为维度上的连续变化较难理解，下面以为例,其积乘结果为 ，定积乘结果为C的上限次方除以C的下限次方。维度为1时，结果为一维上的长度；维度为2时，结果为二维上的面积；维度为3时为三维上的体积……而积乘的连续表明维度的连续，即可以有小数次维度，甚至负数次维，复数次维等。

所以定积乘的结果一般要带上维度的上限减下限次方作为单位，也可以省略。

例1：F(X)=X.其积乘结果为

解：

例2:

其中一个应用就是可以推算出阶乘的表达式。

设有一函数满足 恒成立，且该函数0至1积乘为1，则n为正整数时该函数的0至n积乘即为n的阶乘。n为其他数值时取得的值可以视为阶乘的拓延。

注：阶乘的拓延有无数种，但我们可以选取一个较合理的视为阶乘的准确拓延。认为莱昂哈德·欧拉先生发现的伽玛函数即为阶乘的拓延。

解：由上式可得

设

则 F(n+1)-F(n)=ln(n+1)恒成立

关键步骤：两边同时求导得

F`(n+1)-F`(n)=ln`(n+1)

lnf(n+1)-lnf(n)=1/(n+1)

调和级数的拓延函数G(x)有相同的性质

G(n+1)-G(n)=1/(n+1) n＞0恒成立。

则令lnf(x)=G(x)+C C为特定常量

作为参照函数可得

=

在n为常量时此时完全可用，但当n 趋于无穷时此时失准。

用

可以得到阶乘的精准拓延公式。

微商为积乘的逆运算。即微商的积乘等于原式。

微商w(x)于原式F(x)有以下关系

其中f(x)为原式F(x)的导函数。

推导如下：

两边同时求导得：

其中f(x)为原式F(x)的导函数

由此式可以推出很多函数的微商，如：

F(x)=x w(x)=

F(x)=ax^b w(x)=

F(x)=lnx w(x)=

F(x)=sinx w(x)=

F(x)=tanx w(x)=

等等

在标准正交基向量下，球转动后方向改变，相当于用一个矩阵乘以某向量在球转动前的坐标值而得到其在球转动后的坐标值。而两次转动的叠加为矩阵按前后顺序相乘。一段连续转动，我们将时间间隔不断缩小，然后将每段时间的转化矩阵按时间先后相乘，即可以不断的逼近整段时间转动的转化矩阵。

而利用积乘方法可以直接推出个时间点的转化矩阵。