秦九韶算法是中国南宋
时期的数学家
秦九韶提出的一种
多项式简化算法。在西方被称作霍纳算法。
秦九韶（约公元1202年－1261年），字道古，南宋末年人，出生于鲁郡（今山东曲阜一带人）。
秦九韶与李冶、杨辉、朱世杰并称
宋元数学四大家。（安岳县于1998年9月正式开工建设秦九韶纪念馆，2000年12月竣工落成。）
秦九韶聪敏勤学，宋绍定四年（公元1231），秦九韶考中进士，先后担任县尉、通判、参议官、州守等职。先后在湖北、安徽、江苏、浙江等地做官。南宋理宗景定元年（公元1260年）出任梅州
太守，翌年卒于
梅州。据史书记载，他“性及机巧，星象、音律、算术以至营造无不精究”，还尝从
李梅亭学诗词。他在政务之余，以数学为主线进行潜心钻研，且应用范围至为广泛：天文历法、水利水文、建筑、测绘、农耕、军事、商业金融等方面。
秦九韶是我国古代数学家的杰出代表之一，他的《数书九章》概括了宋元时期中国传统数学的主要成就，尤其是系统总结和发展了高次方程的数值解法与一次
同余问题的解法，提出了相当完备的“
正负开方术”和“
大衍求一术”。对数学发展产生了广泛的影响。
秦九韶算法是一种将一元n次
多项式的求值问题转化为n个一次式的算法。其大大简化了计算过程，即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法。
一般地，一元n次
多项式的求值需要经过(n+1)*n/2次
乘法和n次
加法，而秦九韶算法只需要n次乘法和n次加法。在人工计算时，一次大大简化了运算过程。
宋淳祜四至七年（公元1244至1247），秦九韶在湖州为母亲守孝三年期间，把长期积累的数学知识和研究所得加以编辑，写成了举世闻名的数学巨著《数书九章》。 书成后，并未出版。原稿几乎流失，书名也不确切。后历经宋、元，到明建国，此书无人问津，直到明永乐年间，在解缙主编《
永乐大典》时，记书名为《数学九章》。又经过一百多年，经
王应麟抄录后，由王修改为《数书九章》。
全书不但在数量上取胜，重要的是在质量上也是拔尖的。从历史上来看，秦九韶的《数书九章》可与《
九章算术》相媲美；从世界范围来看，秦九韶的《
数书九章》也不愧为世界
数学名著。
他在《数书九章》序言中说，数学“大则可以通神明，顺性命；小则可以经世务，类万物”。所谓“通神明”，即往来于变化莫测的事物之间，明察其中的奥秘；“顺性命”，即顺应事物本性及其发展规律。在秦九韶看来，数学不仅是解决实际问题的工具，而且应该达到“通神明，顺性命”的崇高境界。
《数书九章》全书共九章九类，十八卷，每类9题共计81个算题。该书著述方式，大多由“问曰”、“答曰”、“术曰”、“草曰”四部分组成：“问曰”，是从实际生活中提出问题；“答曰”，是给出答案；“术曰”，是阐述解题原理与步骤；“草曰”，是给出详细的解题过程。另外，每类下还有颂词，词简意赅，用来记述本类算题主要内容、与国计民生的关系及其解题思路等。
19世纪初，
英国数学家威廉·乔治·霍纳重新发现并证明，后世称作霍纳算法（Horner's method、Horner scheme）。但是，19世纪英国传教士
伟烈亚力Alexander Wylie. (1815–1887) 最早对霍纳的发明权提出质疑。他在1852年著的《中国科学扎记》（Jottings on the Science of the Chinese）一篇论文中，详细介绍秦九韶的正负开方术之后写道“读者不难认出这就是霍纳在1819年因为发表《解所有次方程》论文，被数学家
奥古斯都·德·摩根评为‘必使其发明人因发现此算法而置身于重要发明家之列’的方法；我以为应该对霍纳的发明权提出辩驳。欧洲的朋友们可能会觉得意外，一位来自天朝帝国的竞争者，有更大的机会确立他的优先权”。此后，日本数学史家
三上义夫在《中日数学史》一书中在详述秦九韶的正负开方术后写道：“谁能否认，霍纳的辉煌方法，至少在早于欧洲六百年之前，已经在中国运用了。”。三上义夫还最先指出，秦九韶算法起源于汉代《
九章算术》的开方法。其后
王玲和
李约瑟有专文论述秦九韶算法起源于《九章算术》。前苏联数学史家尤什克维奇说“这是中国传统数学最伟大成就之一”，他还说印度人不知有此方法，而阿拉伯数学家可能从中国前人传入此方法。