相似是矩阵间的一种重要关系，在相似变换下矩阵的特征值保持不变，相似矩阵在矩阵对角化及简化矩阵计算方面有广泛的应用。

设A，B为数域P上两个n阶矩阵，如果可以找到数域P上的n阶可逆矩阵X，使得 ，则称A相似于B，记作A~B。

(1) 若A相似于B，则A等价于B（即A可通过初等变换化为B）

(2) 若A相似于B，则tr(A)=tr(B)

(3) 若A相似于B，则|A|=|B|

以上三条反之皆不成立

证明:若A~B，则存在可逆矩阵X使得

令 ， 则 ，即A与B等价，(1)成立

因 ，于是有

即A与B有相同特征值多项式，因而有相同的特征值，故(2)(3)也成立。

反例： ，

显然A与B等价，并且tr(A)=tr(B)，|A|=|B|，但A与B不可能相似(因A=E，对任意的n阶可逆矩阵X，都有 )。

相似是矩阵间的一种重要关系，这种关系具有以下三个性质：

1.反身性： 。这是因为 （其中 为单位矩阵，下同）。2.对称性：如果 ，那么 。事实上如果 ，那么有X使 ，令 ，就有 ，所以 。3.传递性：如果 ， ，那么 。因为若，，即存在X，Y使 ， 。令 ，就有 ，因此有 。(具有以上三个性质的关系统称为等价关系)

设A，B是数域P上两个 矩阵：

(1) A与B相似的充分必要条件是它们的特征矩阵 与 等价。

(2) A与B相似的充分必要条件是它们有相同的不变因子。

(3) 两个同级复数矩阵相似的充分必要条件是它们有相同的初等因子。

例：已知A~B，其中 ， 。

(1)求a,b的值；(2)求可逆矩阵X使 ；(3)求 。

解：(1)因tr(A)=tr(B)及|A|=|B|可得a=5,b=3

(2)显然A的特征值为2，1，5，即B的特征值也为2，1，5

由 可得对应特征向量 ， ，

令 ，则有 。

(3) 。