相似性质(similarity property)是指
相似变换的一种特征,即图形经过任何相似变换都不改变的性质。例如,
结合性、平行性、保角性等都是相似性质。
基本概念
平面上的变换如果对应线段A’B’与AB的比是个正的常数:
在相似变换下,如果图形 变为图形 ,则说图形 相似于图形 。
从相似变换的定义可以直接看出,移动不过是相似变换当相似比k等于1的特殊情形。显然位似变换是相似变换的特例。
相似性质介绍
相似变换具有下面的性质:
(1)相似变换 的逆变换 仍是相似变换。
事实上,设相似变换 的对应线段为AB和A’B’,相似比为k:
则逆变换 的对应线段为A'B’和AB,并且它是以k的倒数
为相似比的相似变换。
根据这个性质可知,如果图形 相似于 ,则 也相似于 。
(2) 两个相似变换 和 的积仍是一个相似变换。
事实上,设相似变换 把线段AB变为A1B1,相似比为k1;相似变换 把线段 变为 ,相似比为 。这时两个相似变换的积 把线段AB变为 ,而且
因此, 是以 为相似比的相似变换。所以,平面上所有相似变换构成一个群叫做
相似变换群。
根据这个性质可知,如果图形 相似于 , 相似于 ,则 相似于 。
其次,由上面两个性质可知,相似变换 是恒等变换,恒等变换把每个图形 变为本身,因此,每个图形 相似于本身。
(3) 在相似变换下,一条直线上的点,仍变到一条直线上,也就是直线变为直线。
事实上,设A、B、C是一条直线a上的三个点,并且点B在A与C之间,A’、B‘,C’是它们的对应点(图1)根据相似变换的定义:
这里k是相似比,由此得到,
因为,AB+BC=AC,
所以A'B'+B'C'=A'C',
因此,点A‘、B’、C’也在一条直线上,并且点B’在A‘与C’之间。
根据这个性质可知,在相似变换下,半直线变为半直线,角变为角,任意三角形变为与其相似的三角形。
(4)在相似变换下,一条直线上的三个点A、B、C的简单比不变。
定义 一条直线上三个点A、B、C的简单比是,这个简单比常用记号(ABC)表示,A、B叫做基础点,C叫做分点,简单比与线段的分比略有不同,AB由分点C所得到的分比是,从有向线段来看,两者差一个符号。C内分AB时简单比是负值,外分时是正值。
设三点A、B、C在相似变换下,变为点A’、B‘、C‘,根据相似变换定义,
由此得到
也就是
(5) 在相似变换下,角的大小不变。
事实上,在相似变换下,任意三角形ABC变为相似三角形A‘B’C‘,且
因此三角形的角不变。
(6) 在相似变换下,对应三角形的面积比不变。
事实上,设三角形ABC变为A’B’C’,用h和h'表示这两个三角形的高(图2)根据上述性质,在相似变换下,h变为h',因此,
这里,表示对应三角形的面积,由这个等式可知,三角形面积的比是相似变换的不变量。
我们看出,相似变换的不变性质和不变量是相似几何里的主要研究对象。
研究决定相似变换的条件,我们有:
定理 相似变换由不共线的三对对应点唯一确定。