相似不变量(similarity invariant)一般指
相似变换的一种特征，即图形经过任何相似变换都不改变的量，例如，
相似比就是最基本的相似不变量。相似不变量也指相似矩阵的相似不变量，例如
相似矩阵的特征多项式、特征值、行列式、秩、迹。
相似变换
基本概念
关于相似群的图形的不变性质和不变量分别称为相似性质和相似不变量，如角度等，研究相似性质和相似不变量的几何称为相似几何。
关于射影群的图形的不变性质和不变量分别称为射影性质和
射影不变量，如同素性、结合性、交比等，研究射影性质和射影不变量的几何称为射影几何。
关于仿射群的图形的不变性质和不变量分别称为仿射性质和
仿射不变量。如平行性、分比等。研究仿射性质和仿射不变量的几何称为仿射几何。
关于正交群的图形的不变性质和不变量分别称为度量性质和
度量不变量，如距离、正交性等，研究度量性质和度量不变量的几何称为欧氏几何或度量几何。
由于射影群仿射群相似群正交群，射影几何的研究成果适用于仿射几何；仿射几何的研究成果适用于相似几何；相似几何的研究成果适用于欧氏几何，但反过来则不成立。因此群越大，相应的研究内容就越贫乏，但应用范围却越广。 现将四种几何的比较列表于后：
例题解析
例1 下列概念中哪些是仿射的，哪些是相似而非仿射的，哪些只是度量的?为什么?
(1)垂直；(2)线段中点；(3)中心对称和对称中心；(4)轴对称；(5)三角形及其重心；(6)
平行四边形；(7)梯形；(8)二次曲线；(9)焦点、准线、离心率；(10)焦参数；(11)圆。
解： 由仿射变换保持简比不变易知(2)是仿射概念，从而(3)也是仿射概念。
(6)、(7)是仿射概念，又因三角形、中点是仿射概念，故(5)也是仿射概念。从仿射变换的代数表示易知二次方程的代数性和次数在仿射变换下都不变，故(8)也是仿射概念。
仿射概念(2)、(3)、(5)、(6)、(7)、(8)自然也是相似概念和度量概念。
因角度、两线段的比在相似变换下不变，故(1)、(4)是相似概念。但它们都不是仿射概念，这是因为仿射变换一般地要改变角度。
根据圆锥曲线的统一定义以及垂直性和线段比在相似变换下不变，推知(9)是相似概念，但(9)不是仿射概念，例如椭圆经仿射变换变成圆，由此易知该椭圆的焦点、准线、离心率都不是仿射不变的。
圆锥曲线过焦点且垂直于焦点所在对称轴的弦称为正焦弦，其长度的一半称为焦参数，它是度量概念。但因长度在相似变换下一般要改变，故焦参数不是相似概念。
因为相似变换保持线段相等(线段比为1)不变，所以圆作为到一定点的距离相等的动点轨迹是相似概念，但圆不是仿射概念，例如直角坐标方程为的圆在仿射变换下变为椭圆。
相似矩阵
定义
设是定义在全体n阶矩阵集合上的函数，若对中的任意两个相似矩阵A与B，总有，则称为相似不变量。
相关定理
定理1 矩阵的行列式是相似不变量。
证明： 设A～B，则存在可逆矩阵X，使得，于是
这说明行列式是相似不变量。
定理2 矩阵的迹是相似不变量。
证明： 显然有
所以矩阵的迹是相似不变量。
定理3 矩阵的秩是相似不变量。
证明：因为相似矩阵是等价的，所以其秩相等。
定理4 矩阵的特征多项式是相似不变量。
证明： 设A～B，即有可逆矩阵X使，于是
定理4说明，相似矩阵有相同的特征多项式，因而也有相同的特征值，故有
定理5 矩阵的特征值是相似不变量。
顺便指出，定理1～5的逆是不成立的。例如特征多项式相同的矩阵就不一定相似。