如果一个锥体的底面为圆形，顶点位于过底面中心的底面的垂线上，则这个锥体称为直圆锥(right circular cone)。直角三角形以其一直角边为轴旋转而成的旋转体是直圆锥。也可以说在初等几何中，一个锥体若底面为圆，而圆心恰为其顶点在底面上的射影，则称其为直圆锥。通常说圆锥多是指直圆锥。

以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴，其余两边绕轴旋转360°所得到的几何体，叫做直圆锥，简称圆锥，如图1。

直角三角形旋转时，有一条直角边位于旋转轴上，另一条直角边旋转产生的圆面叫做圆锥的底面。斜边旋转时的每一个位置，叫做直圆锥的母线，旋转时产生的曲面叫做直圆锥的侧面。斜边位于轴上的端点叫做直圆锥的顶点。直圆锥的顶点和底面的距离(即顶点和底面圆圆心的距离)叫做直圆锥的高。

直圆锥的底面是圆。

直圆锥的侧面沿母线剪开后在平面上展开，是一个扇形。它的半径等于直角三角形的斜边长，它的弧长等于直圆锥的底面圆的周长。图2就是直圆锥的侧面展开图。

直圆锥的主要性质：

(1) 直圆锥的底面是个圆。它所在的平面垂直于圆的轴。

(2) 直圆锥的轴经过顶点和底面的圆心，底面圆心和顶点的连线是圆锥的高。

(3) 直圆锥的一切母线都交圆锥的顶点，并且都相等，各条母线与轴的夹角都相等。

(4) 用一个过直圆锥的顶点，并且和底面相交的平面去截直圆锥，所得的截面是一个等腰三角形。

(5) 垂直于轴的直圆锥截面是个圆。

直圆锥体的体积等于它的底面积与高的积的三分之一。

若设圆锥体的体积为V，底面积为S，高为h，那么，圆锥体的体积公式为或。

直圆锥体的侧面积等于它的底面的周长与母线长乘积的一半。

若圆锥的母线为，底面半径为，侧面积为S，那么，圆锥体的侧面积公式为。

由方程

给出的曲面，叫做二次曲面。

这个方程给出的可以不是曲面，而是具有更小维度的图形：直线，点或者甚至是空集合。这样的图形不列入二次曲面。

二次曲面称为圆锥，如果在某个直角坐标系中它用方程给出，其中。在这种情况，圆锥称为旋转圆锥或者直圆锥。点称为圆锥的顶点，而轴叫做圆锥的轴。

【例1】证明：顶点在坐标原点的直圆锥的方程形式为

证明提示：设圆锥轴的方向用向量给出，向量和之间的角的余弦等于

点的集合，对于它这个余弦精确到符号相同，给出方程的形式为

【例2】证明：如果圆锥

是直圆锥，并且数中一个等于零，那么这些数中还有一个等于零。

证明提示：根据上一问题数具有形式。如果这些数中有一个等于零，那么由数中一个等于零，则由数中还有一个等于零。

【例3】证明：圆锥

其中，是直圆锥，当且仅当。

证明提示： 首先假设，圆锥是直圆锥，根据问题①有和，所以。

假设设，根据条件，所以和要么两个都正，要么两个都负，在必要时改变圆锥方程的所有系数的符号，可以认为，数和是正的，假设，根据条件，符号可以选择，使得成立等式，这时圆锥的方程化归为正如在问题①指出的这样的形式。

【例4】直圆锥用不平行于它的轴的平面的截形，射影在垂直于圆锥的轴的平面上，证明：圆锥的轴相交射影于焦点。

证明提示：可以认为，圆锥的顶点位置在坐标原点，而它的轴沿着轴的方向，则圆锥的方程具有形式。坐标平面旋转后可以认为，截割平面的方程具有形式，这样一来，圆锥截形在坐标平面上的射影由方程给出，这个方程可以改写为

最后一个方程给出焦点在坐标原点，准线为和离心率为(由点到焦点的距离对点到准线距离的比等于离心率)的二次曲线。