皮卡例外值
数理科学名词
皮卡例外值是整函数理论的一个概念,对任一超越整函数至多有一个有穷的皮卡例外值,对超越亚纯函数至多有两个皮卡例外值。
定义
皮卡例外值是整函数理论的一个概念,使 仅有有限多个零点的值 a 称为皮卡例外值。
根据皮卡定理,对任一超越整函数至多有一个有穷的皮卡例外值,对超越亚纯函数至多有两个皮卡例外值。例如, 以 0 为有穷皮卡例外值, 无有穷皮卡例外值。
亚纯函数 以 为皮卡例外值,外尔斯特拉斯椭圆函数 𝒫 (z)无皮卡例外值。
皮卡小定理
皮卡定理可以指两个不同的数学定理,它们都是关于解析函数的值域。
皮卡小定理说明,如果函数f(z)是整函数且不是常数,则f(z)的值域或者是整个复平面,或者只去掉一个点。
这个定理在1879年证明。它强化了刘维尔定理:任何不是常数的整函数都一定是无界的。
皮卡大定理
皮卡大定理说明,如果f(z)在点w具有本性奇点,那么在任何含有w的开集中,对任意非∞的复数值A,有无穷多个z使得f(z)=A,A最多只有一个例外。 以上定理是说,全纯函数在本性奇点的任意邻域内,“无穷多次”地取到每一个有限的复值,至多有一个例外值。 这个定理强化了魏尔施特拉斯-卡索拉蒂定理,它只保证了f的值域在复平面内是稠密的。
这个“唯一的例外”实际上在两个定理中都是需要的:指数函数ez是一个整函数,永远不能是零。e1/z在0处具有本性奇点,但仍然不能取得零。
例如,亚纯函数f(z) = 1/(1 − exp(1/z))在z = 0处具有本性奇点,在0的任何邻域内都无穷多次取得值∞;但它无法取得0或1的值。
皮卡小定理可以从皮卡大定理推出,因为整函数要么是多项式,要么在无穷远处具有本性奇点。
参考资料
最新修订时间:2022-08-25 15:08
目录
概述
定义
皮卡小定理
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