在数学分析和实变函数中，常常见到一些病态函数，如取整函数y= [x]、纯小数函数y= (x)、符号函数y = sgn x、Dirichlet函数、Riemann函数、Heaviside函数θ(t)、Weierstrass函数W(x) 等等，把它们称为病态函数(pathological function)，是因为它们的定义及性质都比较特殊，不同于一般的初等函数，但重要的是还和人们的认识水平有关，因为对一些奇特性质难以解释或找不到直观背景等原因而称之为病态，而称其为病态也只是相对的，随着科学技术的发展，以及人们所处理问题的日益复杂，一些原来看似病态的函数，现在看来却是性质良好的，并且还发挥着重要的作用。这些函数是随着人们对函数概念的本质的深化认识而人为地构造出来的，利用这些函数常常可非从正面或反面说明实分析中某些重要概念和原理，使实分析的理论臻于完善。一般所谓的病态函数，往往指处处连续但处处不可导的函数，如魏尔斯特拉斯函数(Weierstrass函数)，它是由一个无穷级数定义的，可以直观地想象它，就是一条连续的锯齿状折线，但锯齿的大小无限地小。

牛顿和莱布尼兹发明微积分后的200年间，直到19世纪末还是安全的，19世纪的数学界的流行观念是“连续函数必定可微”，相应的函数一般都应该有导数，可微性是指可以逐点计算曲线的斜率，它是微积分的核心特征。自从微积分发明之日起，就有人认为，由于该学科与运动和量的增长紧密联系，因此一个函数的连续性就足以保证导数的存在了。极限是微积分的基本概念，但在微积分严密化的进化过程，极限概念一直都缺少精确的表达形式，因为它是建立在几何直觉基础之上的。对微积分严密化作出最伟大贡献的法国数学家柯西把极限定义成了清楚而确定的算术概念而非几何概念，柯西的极限定义运用了数、变量以及函数的概念，而不是运用几何与动力学直觉，之后柯西又定义了令数学家纠结了近两千年的无穷小概念。

确立了极限、无穷小和无穷大的概念之后，柯西就能够定义微积分的核心概念导数了。柯西使导数成为微分的核心概念，然后微分就可根据导数来定义。这样，柯西给予了导数和微分概念一种形式上的精确性，使微积分的基本概念得到了严密的阐述。由于这个原因，柯西被看做是近代意义上的严格微积分的奠基者。通过极限概念精确的定义，柯西建立了连续性和无穷级数的理论以及导数、微分和积分的理论。但是柯西的描述里还是有某些细微的逻辑缺陷，一个是无穷集合的概念，一个是数的概念，这由后来的康托尔的努力才进一步完善。此外，在柯西的概念中，变量趋近于一个极限的概念唤起了运动和量的生成的模糊直觉。所以，尽管柯西赋予微积分目前的一般形式，以极限概念为基础，但是微积分严密性的真正权威论述还没有给出。19世纪数学家“现代分析之父”魏尔斯特拉斯(Karl Weierstrass)登场了。

魏尔斯特拉斯认为柯西的一个变量趋近于一个极限的说法，隐含着连续运动的直觉，魏尔斯特拉斯非常清楚直觉是不可信的，他尝试以严密和精确的形式作为分析学基础，并且完全独立于所有几何直觉。1872年，魏尔斯特拉斯向柏林科学院报告了数学分析史上著名的一个反例——一个处处连续，但处处不可微的三角函数级数，即著名的魏尔斯特拉斯函数，魏尔斯特拉斯函数是一种无法用笔画出任何一部分的函数，因为每一点的导数都不存在，画的人无法知道每一点该朝哪个方向画。魏尔斯特拉斯函数的每一点的斜率也是不存在的。魏尔斯特拉斯用这个“反常”函数来说明用直觉为指导、通过运动来定义的连续曲线，不一定就会有切线。为了保证逻辑的正确性，魏尔斯特拉斯希望把微积分只建立在数的观念上，由此将它完全与几何分开。将魏尔斯特拉斯函数在任一点放大，所得到的局部图形和整体图形相似。因此，无论如何放大，函数图像都不会显得更加光滑，也不存在单调的区间。魏尔斯特拉斯与柯西将导数和积分的定义结合在一起，为微积分的基本概念提供了一种精确性，这种精确性构成了对微积分的严密阐述。但就是这个“去几何化”的反例和特例，在近一个世纪后，开启了一个全新的几何时代。魏尔斯特拉斯函数可以被视为第一个分形函数，尽管这个名词当时还不存在。

病态函数是指在某一方面表现出奇特性质的函数，因为它们具有其他函数不具备的性质，故经常用来作为反例。无论是在微积分理论本身的发展过程中，还是在微积分的教学中，病态函数都起着重要的作用，下面介绍微积分中4 个著名的病态函数：Dirichlet 函数、Cauchy 函数、Riemann 函数和Weierstrass 函数。这些函数在微积分的发展历史中曾起过重要的作用，直到今天，其中一些函数无论在理论还是在实际中仍然有重要的应用。

Dirichlet 函数

函数是微积分研究的基本对象，它的定义看似平淡无奇，但事实上,从其起源到成熟，经历了一个漫长的过程。在17世纪的Newton和Leibniz时代，微积分研究的主要是几何曲线(应该和Euclid所产生的深远影响有关)，而且Leibniz首先使用函数这个名词描述曲线的一个相关量，到了18世纪，Euler使人们把注意力从曲线转移到函数，Euler首先区分了常量与变量，并给出了函数的定义：变量的函数是由变量与常量以任何方式构成的解析表达式，这些思想对于曲线来说是一种巨大的进步，但其定义需要通过解析表达式，即公式表示函数。这一定义使得我们现代所接触到的一些函数不能被称为函数，再后来，Euler对函数的定义作了改进，如果某些量以如下方式依赖另一些量：当后者变化时，前者也发生变化，则称前一些量是后一些量的函数。

19 世纪初，Fourier在研究弦振动和热扩散问题时把函数的Euler定义进行了扩展，指出函数可以在定义域任意取值，但若要理解一个真正“任意”函数的概念，那么必须有人给出一个这样的函数，Dirichlet 函数就出现在此背景下，因此可以说，该函数的出现,是函数概念正式形成的标志，它的定义如下，

其中c和d是两个不相等的实数(最常见的情况是 这时它是有理数集的特征函数)。

Dirichlet 函数有一些重要的性质，例如不能画出该函数的图像；它是周期函数，却没有最小正周期；它在实数集上处处有定义，但处处不连续；可以用它来构造本身非Riemann 可积但其绝对值函数却可积的例子。这些奇特性质以及由其构造的一些反例对积分理论的发展曾起着重要的促进作用。

Cauchy 函数

在微积分的发展初期，即18 世纪，还没有严格的极限理论，虽然当时许多杰出的数学家如Euler等用微积分这一全新的工具解决了许多在过去被认为是高不可攀的难题，但同样也发现了一些解释不清的矛盾(这称为第二次数学危机 )。许多数学家试图解决上述矛盾并建立微积分严格的基础，其中Lagrange 曾提出一种方案，用函数的无穷级数(幂级数) 来定义导数(这与现代的观点恰好相反)，从而把无穷级数作为微积分的基础。但是，Lagrange的这一想法最终被证明是不可行的，因为Cauchy在1822年给出了一个反例，即如下定义的函数，

Cauchy函数C(x) 有一个奇特的性质，它在x = 0处可以展开为幂级数，但这个幂级数却不是收敛到C(x)，这也就是说，如果我们从函数C(x) 开始，将它写成级数的形式，最终却得到一个完全不同于开始的函数，因而Lagrange的设想也就不是普遍有效，因而不能实现。当然，现在我们都知道，微积分的基础是建立在Cauchy所提出的严格的极限理论之上的(这一定义后来被Weierstras符号化)。那么有人可能要问，在什么条件下，一个函数在某点的幂级数一定收敛到这个函数本身呢?答案是该函数在这个点是实解析的。反过来也就是说，Cauchy 函数在0点不是实解析的。

Riemann 函数

前文已指出,Cauchy提出了极限的严格定义，这是他对微积分的重要贡献之一。不但如此，他还以此为出发点，用极限给出了微积分中的其他重要概念如连续函数、导数以及积分的定义，这在微积分的发展过程中是具有划时代意义的。特别是积分的定义，在Cauchy之前，积分一直被认为是微分的逆运算而在微积分的概念中处于次要位置。Cauchy是第一个把积分作为一个独立的概念并用分割区间的方法来定义的人。他的定义使得在两个关键问题上再无悬念：积分是一种极限,积分的存在同微分无关，然而，应该指出，Cauchy 关于积分的定义远非完美，因为他的定义仅适用于连续函数或至多有有限多个不连续点的函数。对这一定义进行推广的是Riemann。他仅假定函数在某一闭区间上是有界的，对这样的函数提出了他的积分定义，并给出了一个函数在该定义下可积的充分必要条件。因为事先关于函数的连续性没有做任何假设，因此暗示着某些奇特的函数，比如非常不连续的函数也许是可积的(在他的定义下)。Riemann确实给出了这样一个函数，其定义如下，

其中 表示实数 与和它距离最近的整数n之差，即 。

可以证明，函数 在任意有限的区间内具有无限多不连续点，因而可以说是“高度不连续”的然而，同样可以证明，该函数在闭区间[0，1] 上是Riemann 可积的。这就说明，Riemann关于积分的定义，确实比Cauchy的定义适用性更广，是它的推广.另外，这个病态函数的出现还引发了另一个问题，即一个函数为了Riemann可积，可以不连续到何种程度?对这一问题的探讨持续了一个多世纪，到了20世纪初，才由Lebesgue给出了完美而且简洁的答案：一个在闭区间 上有界的函数 在 上Riemann可积的充分必要条件是 在 上几乎处处连续。

Weierstrass 函数

其中 是一个奇数，b是严格介于0与1之间的一个常数且满足 。这个看起来奇怪的函数有一个更为奇怪的性质：它在整个实数集上处处连续，但处处不可微。可以想象，Weiestass函数的出现在当时引起多么大的震惊，它的出现，把几何直观作为微积分可靠基础的主张逐出了历史舞台。分析学的严格性因Cauchy 而提高，又因Weierstass而达到一个新的顶峰。

当然，处处连续但处处不可导的函数远不止Weiersrass函数一个(但它却是第一个，也是最著名的一个)。1930年，Van der Waerden给出了另一个(较为简单)例子。另外，1918年，Wiener给出了Brown运动的数学理论，结果表明Brown运动的样本轨道就是处处连续但处处不可微的函数。也许有人会问，这些性质奇特的函数除了给出一个反例外，是否还有别的应用? 答案是肯定的。因为20世纪末的数学家们发现，Brown运动可以用来刻画期权的价格波动(这一发现于1997年获得了诺贝尔经济学奖)。粗略地说，期权的价格是随时间变化的函数，就是处处连续又处处不可微的。