生日悖论是指在不少于 23 个人中至少有两人生日相同的概率大于 50%。例如在一个 30 人的小学班级中，存在两人生日相同的概率为 70%。对于 60 人的大班，这种概率要大于 99%。从引起逻辑矛盾的角度来说，生日悖论是一种 “佯谬”。但这个数学事实十分反直觉，故称之为一个悖论。生日悖论的数学理论被应用于设计密码学攻击方法——生日攻击。

23 个人里有两个生日相同的人的概率有多大呢？居然有 50%。不计特殊的年月，如 2 月 29 日。于是一年中有 N = 365 天。设房间里有 n 个人，要计算所有人的生日都不相同的概率。那么第一个人的生日是 365 选 365，第二个人是 365 选 364，第三个人 365 选 363 …… 第 n 个人的生日是 365 选 365-(n-1)。所以所有人生日都不相同的概率为

这里 n! 表示 n 的阶乘。那么，n 个人中有至少两个人生日相同的概率就是 P。将 n 与 P 的关系列入下表：

可以看到 n = 100 远小于 N = 365 时，就已经几乎必然有一对同生缘，所有人生日两两不同的概率仅一千万分之三。

为了更好地理解以上精确结果，本节给出一个近似解法。根据 N = 365，将没有同生缘的概率写作

当人数 n ＜＜ N 时，根据近似 (1-1/N)n ≈ 1-n/N 有

根据 N ＞＞1，自然对数的底 e ≈ (1+1/N)N（把 N = 365 代入算算看），得到近似解

可见在 N = 365 天中要出现两个生日相同的人，所需人数为 n～O(√N) 量级。每个特定的人在 n 个人中遇到同生缘的数目平均为 (n-1)/N 很少，但把 n 个人遇到的同生缘加总起来除以 2，就能得到平均有 n(n-1)/2N 对同生缘。这就是为什么会发生 “生日悖论” 的原因。个人觉得罕见的事情在集体中却是常见的。

设某人练习投篮，投第一球命中概率为 a = 10%，以后每练习一球，命中概率提高 b = 2%。试计算他投中第一个球时，投球次数 X 的概率分布。于是投了 n 次没有命中的概率

精确解法要把阶乘推广为伽玛函数，再用斯特林公式近似，较为繁琐。直接用近似解法，设 N = (1-a) / b ＞＞ 1，则有

将隐含在投篮问题中的 “生日问题” 挖掘出来后，即可直接套用前面的近似解得到上式。可见训练效果 b 使 P(X ＞ n) 随 n 增加而趋于 0 的速度快于几何分布。

1、生日悖论普遍的应用于检测哈希函数：N 位长度的哈希表可能发生碰撞测试次数不是 2N 次而是只有 2N/2 次。这一结论被应用到破解密码哈希函数 (cryptographic hash function) 的 “生日攻击” 中。

2、生日问题所隐含的理论已经在 [Schnabel 1938] 名字叫做 “标记重捕法” (capture-recapture) 的统计试验得到应用，来估计湖里鱼的数量。

悖论是指一种导致矛盾的命题。悖论 (paradox) 来自希腊语 “para+dokein”，意思是 “多想一想”。 如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。

把集合分成两类，凡是不以自身作为元素的集合称为正常集，（例如，自然数集 N 本身不是一个自然数，因此 N 是正常集。）凡是以自身作为元素的集合称为异常集。（例如，所有的非生物的集合 F 也是非生物，因此 F 是异常集。）

这样，许多日常中常见的悖论（说谎者悖论，理发师悖论，上帝悖论等）都可以归入异常集之中了。

另外一种悖论是关于无限的，虽然我们基本上都能接受极限的理论，但是要把这个理论向不懂的人解释还是十分困难的。

（古希腊数学家芝诺 (Zeno of Elea) 的阿基里斯悖论）阿基里斯在赛跑中不可能追上起步稍微领先于他的乌龟，因为当他要到达乌龟出发的那一点，乌龟又向前爬动了。阿基里斯和乌龟的距离可以无限地缩小，但永远追不上乌龟。

（古希腊数学家芝诺 (Zeno of Elea) 的二分法悖论）当一个物体行进一段距离到达 D，它必须首先到达距离 D 的二分之一，然后是四分之一、八分之一、十六分之一、以至可以无穷地划分下去。因此，这个物体永远也到达不了 D。

“1厘米线段内的点与太平洋面上的点一样多”

康托尔（1845－1918）成功地证明了：一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应。由于无限，1厘米长的线段内的点，与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都 “一样多”。