对于求解线性递推数列，我们还经常使用生成函数法，而对于常系数线性递推数列，其生成函数是一个有理分式，其分母即特征多项式。

设为域（例如实数或复数域），对布于上的 矩阵，定义其特征多项式为

这是一个n次多项式，其首项系数为一。

一般而言，对布于任何交换环上的方阵都能定义特征多项式。

要理解特征多项式，首先需要了解一下特征值与特征向量，这些都是联系在一起的：

设A是n阶矩阵，如果数λ和n维非零列向量x使得关系式Ax=λx成立，那么，这样的数λ就称为方阵A的特征值，非零向量x称为A对应于特征值λ的特征向量。

然后，我们也就可以对关系式进行变换：(A-λE)x=0 其中E为单位矩阵。这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充要条件是系数行列式为0，即|A-λE|=0。带入具体的数字或者符号，可以看出该式是以λ为未知数的一元n次方程，称为方阵A的特征方程，左端 |A-λE|是λ的n次多项式，也称为方阵A的特征多项式。

1、把|λE-A|的各行（或各列）加起来，若相等，则把相等的部分提出来（一次因式）后，剩下的部分是二次多项式，肯定可以分解因式。

2、把|λE-A|的某一行（或某一列）中不含λ的两个元素之一化为零，往往会出现公因子，提出来，剩下的又是一二次多项式。

3、试根法分解因式。

当A为上三角矩阵（或下三角矩阵）时，，其中 是主对角线上的元素。

对于二阶方阵，特征多项式能表为。一般而言，若 ，则 。

此外：

（1）特征多项式在基变更下不变：若存在可逆方阵 C使得，则。

（2）对任意两方阵，有。一般而言，若A为矩阵，B 为矩阵（设 ），则。

（3）凯莱-哈密顿定理：。