清宫定理_数学定理 - 威林百科weilinceramic.com

清宫定理

数学定理

清宫定理是几何著名定理之一，由日本数学家清宫俊雄（Toshio Seimiya）提出。

定理简介

设P、Q为△ABC的外接圆上异于A、B、C的两点，P关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，且QU、QV、QW分别交三边BC、CA、AB或其延长线于D、E、F，则D、E、F在同一直线上

证明

P、Q两点和D、F、E、三点有如下关系：

将三角形的三边或者其延长线作为镜面，则从P点出发的光线照到D点经过BC反射以后通过Q点，从P点出发的光线照到E点经AC的延长线反射后通过Q点，从P点出发的光线照到F点后通过Q点

从而，如果P、Q两点重合，则D、E、F三点成为从P（即Q）点向BC，CA，AB或者它们的延长线所引的垂线的垂足。清宫定理就相当于西姆松定理。

我们决定将证明清宫定理的方针确定如下：因为D、E、F三点中，有两点在△ABC的边上，其余一点在边的延长线上，

如证明

，

则根据梅涅劳斯定理的逆定理，就可证明DEF三点在同一直线上。

首先，A、B、P、C四点共圆，因此

∠PCE=∠ABP

但是，点P和V关于CA对称

所以∠PCV=2∠PCE

又因为P和W关于AB对称，所以

∠PBW=2∠ABP

从这三个式子，有

∠PCV=∠PBW

另一方面，因为∠PCQ和∠PBQ都是弦PQ所对的圆周角，所以

∠PCQ=∠PBQ

两式相加，有

∠PCV+∠PCQ=∠PBW+∠PBQ

即∠QCV=∠QBW

即△QCV和△QBW有一个顶角相等，因此

但是，，所以

同理

于是

根据梅涅劳斯定理的逆定理，D、E、F三点在同一直线上

参考资料

清宫定理的三角证明 .清宫定理的三角证明_杏坛孔门_新浪博客.

最新修订时间：2023-07-04 13:16

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