正弦级数和余弦级数_数学术语 - 威林百科weilinceramic.com

正弦级数和余弦级数

数学术语

一般来说，一个函数的傅立叶级数既含有正弦项，又含有余弦项。特别地，只含有正弦项的傅立叶级数称为正弦级数，只含有余弦项的傅立叶级数称为余弦级数。

以2l为周期的函数的傅里叶级数

设是以为周期的函数，则其傅里叶系数为

所以，其傅里叶级数为

若函数在上按段光滑，则由收敛定理得

正弦级数与余弦级数

奇函数的傅里叶级数—正弦函数

设是以为周期的奇函数，或是定义在上的奇函数，则在上，是奇函数，是偶函数。因此，的傅里叶系数是

所以当为奇函数时，它的傅里叶级数只含有正弦函数的项，即

其中如（1）所示。（2）式右边的级数称为正弦级数。

当 ,则奇函数所展开成的正弦级数为

其中

偶函数的傅里叶级数—余弦级数

设是以为周期的偶函数，或是定义在上的偶函数，则在上，是偶函数，是奇函数。因此，的傅里叶系数是

于是的傅里叶级数只含有余弦函数的项，即

其中如（3）所示。（4）式右边的级数称为余弦级数。

当，则偶函数所展开成的余弦函数为

其中

应用

定义在上的函数展成正弦级数。

具体步骤：

（1）奇延拓：在上补充定义得，使得在为奇函数。

（2）对作周期延拓。

（3）将经过奇延拓与周期延拓后的函数展成傅里叶级数

其中

定义在上的函数展成余弦级数。

具体步骤：

（1）偶延拓：在上补充定义得到，使得在为偶函数。

（2）对作周期延拓。

（3）将经过偶延拓与周期延拓后的函数展成傅里叶级数

其中

参考资料

最新修订时间：2022-08-25 14:59

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概述

以2l为周期的函数的傅里叶级数

正弦级数与余弦级数

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