设V1，V2是欧氏空间V中的两个子空间．如果对于任意的α∈V1，β∈ V2，恒有( α，β)=0，则称V1，V2是正交的，记作V1⊥V2。

若内积空间中两向量的内积为0，则它们正交。类似地，若内积空间中的向量v与子空间A中的每个向量都正交，那么这个向量和子空间A正交。若内积空间的子空间A和B满足一者中的每个向量都与另一者正交，那么它们互为正交子空间。

令A为一m×n矩阵，并令x∈ N(A)，N(A)为A的零空间．由于Ax=0，我们有

其中i=1，…，m．方程(1)说明，x与 的第i个列向量正交，其中i=1，…，m．由于x和 的每一个列向量正交，所以它和 的列向量的任何线性组合也正交．因此，若y为 的列空间中的任何一个向量，则 =0．于是，N(A)中的每一向量都和的列空间中的任何向量正交．当Rn的两个子空间具有这个性质时，称它们是正交的．

定义 设X和Y为Rn的子空间，若对每一x∈X及y ∈ Y都有 =0，则称X和Y为正交的(orthogonal)．若X和Y是正交的，我们记为X⊥Y．

正交子空间的概念并不总是和我们直观概念中的垂直一样．例如，教室的墙壁和地板“看起来”是正交的，但是xy平面和yz平面并不是正交的子空间．事实上，可以考虑向量x1=(1，1，0)T及X2=(0，1，1)T，它们分别在xy和yz平面上．由于

所以子空间不是正交的．

对应于z轴的子空间和对应于xy平面的子空间是正交的。

正交补

定义 令Y为Rn的子空间．Rn中所有与Y中的每一向量正交的向量集合记为

因此

集合Y^⊥称为Y的正交补(orthogonal complement)．

基本子空间

令A为一m×n行矩阵,一个向量b∈R^m在A的列空间中的充要条件是对某X∈Rn，有b=Ax．如果将A看成是将Rn映射为R^m的线性变换．则A的列空间和A的值域是相同的．我们记A的值域为R(A)．则

的列空问R( )为Rn的一个子空间：

除了R( )的列空间包含Rn中的向量(n×1矩阵)而不是n元组外，它和A的行空问在本质上是相同的．因此，y∈ R( )的充要条件为 在A的行空间中．

直和

若U和V为一个向量空间W的子空间，且每一个w∈W可以唯一地写为一个和u+v，其中u∈U，且v∈V，则我们称W为U与V的直和(direct sum)，并记作:W=U⊕V.

定理1(基本子空间定理) 若A为一m×n矩阵，则

定理2 若S为Rn的一个子空间，则dimS+dimsS^T=0+n=n,若{x1，…，

xr}为S的一组基，且{x(r+1)，…，xn}为S^⊥的一组基，则{X1，…，xr，x(r+1)，…，xn}为Rn的一组基．

定理3 若S为Rn的一个子空间，则

定理4 若S为Rn的一个子空间，则

推论5 若A为一m×n矩阵，且b ∈R^m，则或者存在一个向量x∈Rn使得Ax=b，或者存在一个向量y∈R^m使得=0且≠0．