欧几里德引理_数学定理 - 威林百科weilinceramic.com

欧几里德引理

数学定理

在数论中，欧几里得引理是根据欧几里得的《几何原本》第七卷的命题30推出的一个定理。

欧几里得引理

这个引理说明：

如果一个正整数整除另外两个正整数的乘积，第一个整数与第二个整数互质，那么第一个整数整除第三个整数。

可以这样表达这个引理：

如果a|bc ，gcd(a,b)=1 那么 a|c。

命题30是这样说的：

如果一个素数整除两个正整数的乘积，那么这个素数可以至少整除这两个正整数中的一个。

如果 p|bc 那么 p|b 或者 p|c。

命题30的证明

设p|ab，但p不是a的因子。于是，可设rp=ab，其中r|ab。由于p是质数，且不是a的因子，gcd(a,p)=1。这就是说，可以找到两个整数x和y，使得1=px+ay（裴蜀定理）。两边乘以b，可得：

b=b(px+ay)

b=bpx+bay

前面已经说了:rp=ab，因此：

b=bpx+rpy

b=p（bx+ry）

所以，p|b。这就是说，p要么整除a，要么整除b，要么都能整除。证毕。

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最新修订时间：2024-05-21 13:26

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欧几里得引理

命题30的证明

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