设X为自反空间，则X*也是自反空间。

彼茨(B.J.Pettis)定理 设X为巴拿赫空间，则X为自反空间当且仅当X的任何闭子空间均为自反空间。

1963年，R.C.James给出了关于自反空间的一个重要特征，指出一个Banach空间X自反的充要条件是X上全体有界线性泛函在其单位球面S上达到范数。如果一个Banach空间X不自反，则由R.C.James的结果，一定存在X上有界线性泛函f∈ X*在其单位球面S上不能达到范数。那么对于一般Banach空间的有界线性泛函是否还有进一步特征呢? E.Bishop和R.Phelps证明了Banach空间X在其单位球面上达到范数的有界线性泛函f∈ X*全体在X*中一定稠。这一结论被称为Bishop- Phelps定理。根据这个定理，赋范线性空间中的次自反概念也就随之产生。此外，一个一致凸Banach空间X一定自反，但其逆命题不真。这方面的一个结果是：如果自反Banach空间X的单位球面一致Eberlein紧(UEC)，那么这个空间有一等价各向一致凸(URED)范数。

巴拿赫空间是按范数导出的距离完备的赋范线性空间。设(X，‖·‖)为赋范线性空间.对x，y∈X，ρ(x，y)=‖x-y‖定义了X上的一个距离，使X成为度量空间。如果X按这个距离是完备的，就称X为巴拿赫空间。L(Ω)(1≤p≤+∞)，C(Ω)，c，c0等都是巴拿赫空间的例子。

巴拿赫空间(含赋范空间)是1922年巴拿赫(Banach，S.)与维纳(Wiener，N.)相互独立提出的，并且在不到10年的时间内便发展为相当完美而又有多方面应用的理论.1932年，巴拿赫论述这部分理论的《线性算子理论》一书的问世，是泛函分析作为独立的数学分支出现的标志。巴拿赫空间至今仍是泛函分析研究的基本对象之一。

性质1　 M是赋范线性空间X的一稠子空间，则M的共轭空间M′等距同构于X的共轭空间X*。

证明 ，用 f'表示f从M到X的保范延拓，设T:f→ f‘，由保范延拓的唯一性，T是一个从M*→X*的连续映射。，设f= g|M是g在M上的限制，记S={x∈ H|‖ x‖ = 1}，由M在X中的稠性，可得：

‖ g‖ = supx∈ S{| g(x)|}= supx∈ S∩ M{| g(x)|}= supx∈ S∩ M{| f(x)|}= ‖ f‖M,

故T是一个从M*→X*的等距映射。另一方面，，因为M在X中稠，故存在{xn}∈M，xn→x，由此得：

故T线性，所以T又是从M*→X*的一个同构映射。证毕。

设X是一Banach空间，X*是它的共轭空间，记F(x)={f∈ X*| f(x)= ‖ x‖2= ‖ f‖2}，称F(x)为X上的共轭映象，又记F- 1(f)={x∈ X| f(x)= ‖ x‖2= ‖ f‖2}，称F- 1(f)为F(x)的逆映象。

性质2　F(x)是Banach空间X上的共轭映象，则以下条件等价：

(1) F(x)在X上范-范下半连续；

(2) F(x)在X上单值且连续；

(3) F(x)单值且〈 F(x+ ty),y〉→〈 F(x),y〉对y一致，(t→ 0)；

(4)存在一个支撑函数o:X→X*,使得〈 y,o(x+ λy)〉→〈 y,o(x)〉对y一致，(λ→ 0)；

(5) X的范数Frechet-可微；

(6) X的共轭空间X*弱一致凸(WUR)。