概率幅，在量子力学里又称为量子幅，是一个描述粒子的量子行为的复函数。例如，概率幅可以描述粒子的位置。当描述粒子的位置时，概率幅是一个波函数，表达为位置的函数。该波函数必须满足薛定谔方程。

德布罗意提出的波的物理意义是什么呢?他本人曾认为那种与粒子相联系的波是引导粒子运动的“导波”，并由此预言了电子的双缝干涉的实验结果。这种波以相速度u=c2/v传播而其群速度就正好是粒子运动的速度u。对这种波的本质是什么，他并没有给出明确的回答，只是说它是虚拟的和非物质的。

量子力学的创始人之一薛定谔在1926年曾说过，电子的德布罗意波描述了电量在空间的连续分布。为了解释电子是粒子的事实，他认为电子是许多波合成的波包。这种说法很快就被否定了。因为。第一，波包总是要发散而解体的，这和电子的稳定性相矛盾；第二．电子在原子散射过程中仍保持稳定也很难用波包来说明。

当前得到公认的关于德布罗意波的实质的解释是玻恩(M．Born)在1926年提出的。在玻恩之前，爱因斯坦谈及他本人论述的光子和电磁波的关系时曾提出电磁场是一种“鬼场”。这种场引导光子的运动，而各处电磁波振幅的平方决定在各处的单位体积内一个光子存在的概率。玻恩发展了爱因斯坦的思想。他保留了粒子的微粒性，而认为物质波描述了粒子在各处被发现的概率。这就是说，德布罗意波是概率波。

玻恩的概率波概念可以用电子双缝衍射的实验结果来说明。图1(a)的电子双缝衍射图样和光的双缝衍射图样完全一样，显示不出粒子性，更没有什么概率那样的不确定特征。但那是用大量的电子(或光子)做出的实验结果。如果减弱入射电子束的强度以致使一个一个电子依次通过双缝，则随着电子数的积累，衍射“图样”将依次如图2中各图所示。图2(a)是只有一个电子穿过双缝所形成的图像。图2(b)是几个电子穿过后形成的图像。图2(c)是几十个电子穿过后形成的图像。这几幅图像说明电子确是粒子．因为图像是由点组成的。它们同时也说明．电子的去向是完全不确定的．一个电子到达何处完全是概率事件。随着入射电子总数的增多，衍射图样依次如(d)．(e)，(f)诸图所示，电子的堆积情况逐渐显示出了条纹，最后就呈现明晰的衍射条纹，这条纹和大量电子短时问内通过双缝后形成的条纹(图1(a))一样。这些条纹把单个电子的概率行为完全淹没了。这又说明．尽管单个电子的去向是概率性的，但其概率在一定条件(如双缝)下还是有确定的规律的。这些就是玻恩概率波概念的核心。

图2表示的实验结果明确地说明了物质波并不是经典的波。经典的波是一种运动形式。在双缝实验中，不管人射波强度如何小，经典的波在缝后的屏上都“应该”显示出强弱连续分布的衍射条纹．只是亮度微弱而已。但图2明确地显示物质波的主体仍是粒子，而且该种粒子的运动并不具有经典的振动形式。

图2表示的实验结果也说明微观粒子并不是经典的粒子。在双缝实验中，大量电子形成的衍射图样是若干条强度大致相同的较窄的条纹。如图3(a)所示。如果只开一条缝，另一条缝闭合，则会形成单缝衍射条纹。其特征是几乎只有强度较大的较宽的中央明纹(图3(b)中的P1和P2)。如果先开缝1，同时关闭缝2，经过一段H寸间后改开缝2。同时关闭缝1，这样做实验的结果所形成的总的衍射图样P12将是两次单缝衍射图样的叠加．

其强度分布和同时打开两缝时的双缝衍射图样是截然不同的。

如果是经典的粒子．它们通过双缝时．都各自有确定的轨道，不是通过缝1就是通过缝2。通过缝l的那些粒子，如果也能衍射的话，将形成单缝衍射图样。通过缝2的那些粒子．将形成另一幅单缝衍射图样。不管是两缝同时开，还是依次只开一个缝，最后形成的衍射条纹都应该是图3(b)那样的两个单缝衍射图样的叠加。实验结果显示实际的微观粒子的表现并不是这样。这就说明，微观粒子并不是经典的粒子。在只开一条缝时，实际粒子形成单缝衍射图样。在两缝同时打开时，实际粒子的运动就有两种可能：或是通过缝1或是通过缝2。如果还按经典粒子设想，为了解释双缝衍射图样，就必须认为通过这个缝时，它好像“知道”另一个缝也在开着，于是就按双缝条件下的概率来行动了。这种说法只是一种“拟人”的想象，实际上不可能从实验上测知某个微观粒子“到底”是通过了哪个缝，我们只能说它通过双缝时有两种可能。微观粒子由于其波动性而表现得如此不可思议地奇特!但客观事实的确就是这样!

为了定量地描述微观粒子的状态，量子力学中引入了波函数，并用Ψ表示。一般来讲，波函数是空间和时间的函数，并且是复函数，即Ψ=Ψ(x,y,z,t)。将爱因斯坦的“鬼场”和光子存在的概率之间的关系加以推广，玻恩假定|Ψ|2=ΨΨ*就是粒子的概率密度，即在时刻t．在点(x，y，z)附近单位体积内发现粒子的概率。波函数Ψ因此就称为概率幅。对双缝实验来说，以Ψ1表示单开缝1时粒子在底板附近的概率幅分布，则|Ψ1|2=P1即粒子在底板上的概率分布，它对应于单缝衍射图样P1(图3(b))。以Ψ2表示单开缝2时的概率幅，则|Ψ2|2=P2表示粒子此时在底板上的概率分布，它对应于单缝衍射图样P2.如果两缝同时打开，经典概率理论给出，这时底板上粒子的概率分布应为

但事实不是这样!两缝同开时．入射的每个粒子的去向有两种可能，它们可以“任意”通过其中的一条缝。这时不是概率相叠加．而是概率幅叠加，即相应的概率分布为

这里最后的结果就会出现Ψ1和Ψ2的交叉项。正是这交叉项给出了两缝之间的干涉效果，使双缝同开和两缝依次单开的两种条件下的衍射图样不同。

概率幅叠加这样的奇特规律，被费恩曼(R．P．Feynman)在他的著名的《费恩曼物理学讲义》中称为“量子力学的第一原理”。他这样写道：“如果一个事件可能以几种方式实现，则该事件的概率幅就是各种方式单独实现时的概率幅之和。于是出现了干涉。”

在物理理论中引入概率概念在哲学上有重要的意义。它意味着：在已知给定条件下，不可能精确地预知结果，只能预言某些可能的结果的概率。这也就是说，不能给出唯一的肯定结果，只能用统计方法给出结论。这一理论是和经典物理的严格因果律直接矛盾的。玻恩在1926年曾说过：“粒子的运动遵守概率定律，但概率本身还是受因果律支配的。”这句话虽然以某种方式使因果律保持有效，但概率概念的引入在人们了解自然的过程中还是一个非常大的转变。因此，尽管所有物理学家都承认，由于量子力学预言的结果和实验异常精确地相符，所以它是一个很成功的理论，但是关于量子力学的哲学基础仍然有很大的争论。哥本哈根学派，包括玻恩、海森伯(W．Heisenberg)等量子力学大师，坚持波函数的概率或统计解释，认为它就表明了自然界的最终实质。费恩曼也写过(1965年)：“现时我们限于计算概率。我们说‘现时’，但是我们强烈地期望将永远是这样一解除这一困惑是不可能的自然界就是按这样的方式行事的。”

另一些人不同意这样的结论，最主要的反对者是爱因斯坦。他在1927年就说过：“上帝并不是跟宇宙玩掷骰子游戏。”德布罗意的话(1957年)更发人深思。他认为：不确定性是物理实质，这样的主张“并不是完全站得住的。将来对物理实在的认识达到一个更深的层次时，我们可能对概率定律和量子力学作出新的解释，即它们是目前我们尚未发现的那些变量的完全确定的数值演变的结果。我们现在开始用来击碎原子核并产生新粒子的强有力的方法可能有一天向我们揭示关于这一更深层次的目前我们还不知道的知识。阻止对量子力学目前的观点作进一步探索的尝试对科学发展来说是非常危险的，而且它也背离了我们从科学史中得到的教训。实际上，科学史告诉我们，已获得的知识常常是暂时的．在这些知识之外，肯定有更广阔的新领域有待探索。”最后，还可以引述一段量子力学大师狄拉克(P．A．M．Dirac)在1972年的一段话：“在我看来，我们还没有量子力学的基本定律。目前还在使用的定律需要作重要的修改，……。当我们作出这样剧烈的修改后．当然．我们用统计计算对理论作出物理解释的观念可能会被彻底地改变。”

马克斯·玻恩因为对波函数的统计学诠释，获得 1954 年的诺贝尔物理学奖。