椭圆面积公式_数学公式 - 威林百科weilinceramic.com

椭圆面积公式

数学公式

利用椭圆面积公式，可以在已知椭圆长半轴与短半轴的情况下，求出椭圆的面积。

公式内容

对于半长轴为，半短轴为的椭圆，其面积公式为

其中常数是圆周率。

公式推导

仿射变换

给定椭圆的标准方程

对其进行仿射变换

带入原方程可得

即

注意到原椭圆经过该仿射变换后得到了一个半径为的圆，其面积满足

设原椭圆的面积为，根据仿射变换的面积关系

可得

投影

利用圆柱的斜截面是椭圆，也可以推出椭圆的面积公式，如图。

其中，平面与圆柱相交截得椭圆，其短轴与底面平行。设椭圆的半长轴为，半短轴为，面积为；设圆柱底面半径为。那么：

由面积投影定理，设截面与底面的夹角为则：

于是得到椭圆面积公式

定积分

设椭圆的面积为，给出椭圆的标准方程

其在第一象限的方程为

利用定积分计算可得

因而得到椭圆面积为

也可以直接利用椭圆的参数方程进行计算。给出椭圆的参数方程

利用定积分计算可得椭圆面积

与圆的关系

圆是半长轴与半短轴相等的椭圆。当时，椭圆面积公式变为：

这与圆的面积公式是一致的。

参考资料

最新修订时间：2024-12-04 11:23

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