标准差（Standard Deviation），数学术语，是离均差平方的算术平均数（即：方差）的算术平方根，用σ表示。标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差，在概率统计中最常使用作为统计分布程度上的测量依据。19世纪末，由英国统计学家卡尔·皮尔逊（Karl Pearson）首先提出。

定义：

标准差（Standard Deviation，SD），是一个统计学中的专有名词，用于描述数据的离散程度的统计量。标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差。一般而言，标准差越小，表明数据越聚集；标准差越大，表明数据越离散。

标准差是衡量数据离散程度的核心指标，定义为数据偏离均值的平均距离的平方根。其核心意义在于通过数值量化数据波动性：标准差越小，数据分布越紧密；标准差越大，数据分布越分散。

在国家计量技术规范中，标准差的正式名称是标准偏差， 简称标准差，标准差的名称有10余种，如总体标准差、母体标准差、均方根误差、均方根偏差、均方误差、均方差、单次测量标准差和理论标准差等。标准差是统计学中非常重要的一个概念，可以帮助人们更好地理解和分析数据分布规律，进而进行更加科学和准确的推断和决策。

计算公式：

总体标准差（精确描述全体数据）：

：总体均值

：数据总量

样本标准差（用于估计总体，避免偏差）：

：样本均值

：样本量（−1称为自由度，修正小样本低估问题）

数据集：某班5名学生数学成绩 78,85,90,92,95

1. 计算均值：

=(78+85+90+92+95)/5=88

2. 求偏差平方

3. 计算方差：

4. 开平方得标准差：

标准差在实际中具有广泛的应用，主要体现在以下几个方面：

当需要比较两个或多个数据集时，可以通过计算它们的标准差来进行比较。标准差较大的数据集具有较高的离散程度，而标准差较小的数据集具有较低的离散程度。通过比较标准差，可以判断哪个数据集更稳定、更具代表性。

举例：

1. 医学研究：药物效果评估

数据集：两组患者服药后血压下降值（mmHg）

药物A组：8, 9, 10, 11, 12，均值=10，标准差≈1.58

药物B组：5, 10, 15, 20, 25，均值=15，标准差≈7.91

结论：药物A效果稳定，标准差低；药物B个体差异大，需关注副作用风险。

2. 制造业：零件尺寸质量控制

数据集：某生产线零件长度（mm）

合格批次：49.8,50.1, 50.0, 50.2, 49.9，标准差≈0.16

不合格批次：49.5,50.5, 48.9, 51.0, 49.0，标准差≈0.96

结论：标准差超过0.5mm时触发预警，需检修设备。

3. 教育领域：学生成绩分析

数据集：两班级数学成绩（满分120）

A班：85,88,90,92,95，均值=90，标准差≈3.54

B班：70,80,90,100,110，均值=90，标准差≈15.81

结论：结论：A班成绩更集中，教学效果稳定；B班成绩离散，需关注两极分化。

在统计学和机器学习领域，标准差常用于预测和建模。在回归分析中，可以通过计算自变量和因变量的标准差来评估模型的拟合效果。在时间序列分析中，可以通过计算时间序列数据的标准差来估计其波动性。这些应用有助于更准确地预测未来的数据趋势和变化。

在制造业等领域，标准差常用于评估质量控制的稳定性和精确性。通过监测测试结果的标准差，可以评估生产过程的稳定性和产品质量的一致性。如果某个关键指标的测量数据标准偏差较小，说明生产过程稳定，产品质量一致性好；若标准偏差较大，则可能提示生产过程存在问题，需要进行调整和改进。

在教育领域，教师可以通过分析学生的考试成绩标准差来了解学生的学习情况，判断教学效果的稳定性。如果学生的考试成绩标准差较小，说明学生的学习成绩相对集中，教学效果较为稳定；反之，如果标准差较大，则可能说明学生的学习成绩存在较大的差异，需要采取针对性的教学措施来提高教学效果。

综上所述，标准差作为衡量数据分布离散程度的重要指标，在统计学和实际应用中具有广泛的用途。掌握标准差的计算方法以及其在实际问题中的应用场景，对于数据分析师、决策者、投资者、项目经理以及医生和教师等来说都是非常重要的技能。

标准差的非负性指标准差的值始终为非负数，即标准差不可能为负数。因为标准差是一个衡量数据分散程度的统计量，它是平均值和每个数据点之间的差的平方的平均值的平方根。平方根的结果始终为非负数，所以标准差也始终为非负数。

标准差的可加性是指在满足一定条件下，两个或多个相互独立随机变量的标准差可以相加。如果有多个随机变量，例如X、Y、Z等，它们各自具有自己的标准差，，，想要计算它们的总体标准差s，可以将每个随机变量的标准差平方相加，然后再将其和开平方即可得到总体标准差。使用以下公式：

标准差的正态分布是指，对于一个服从正态分布的随机变量，其标准差的取值也服从一个正态分布。正态分布是由它的平均数和标准差唯一决定的，常把它记为，即标准差条件下的正态分布记为。

从形态上看，正态分布是一条单峰、对称钟形的曲线，其对称轴为，并在时取最大值从点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴但永不与x轴相交因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的。

通过以下三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征。

由于方差是数据的平方，与检测值本身相差太大，人们难以直观的衡量，所以常用方差开根号换算回来成标准差。

1. 数据类型限制：仅适用于数值型数据，对分类数据（如性别、等级）无意义。

2. 异常值敏感度：

示例：数据集 10, 12, 13, 15, 100 的标准差≈38.5，异常值“100”使结果严重偏离。

解决方法：使用中位数和四分位距（IQR）辅助分析。

3. 单位一致性：标准差的单位与原始数据相同，跨单位比较需用变异系数（CV）。

4. 样本校正必要性：样本标准差使用而非，避免低估总体波动（贝塞尔校正）。

标准差是由英国统计学家卡尔·皮尔逊在19世纪末首先提出来的，当时，人们通过求解方差已经可以很好地描述数据分布的离散程度，但是方差最后获得的值是平方单位的，不利于人们对其进行直观的理解和比较。而标准差的出现，正是为了解决这个问题。它是方差的平方根，具有良好的可解释性和可比性，更容易被人们直观地理解和应用。因此，到了20世纪初，标准差很快被广泛地应用于数据分析、统计学、概率论以及各种相关领域。