柯西型积分_柯西积分表达式在连续函数情形的一种推广

柯西型积分

柯西积分表达式在连续函数情形的一种推广

柯西型积分(integral of Cauchy type)是原本适用于解析函数的柯西积分表达式在连续函数情形的一种推广。在复变函数理论中，柯西型积分具有重要的地位，它是柯西积分的推广，柯西积分是柯西型积分的特殊情况。

基本介绍

定义

对于简单光滑曲线如果函数在上连续，则积分

存在，我们称之为柯西型积分。

定理

设在简单光滑曲线L上连续，则对于Z平面上任意一点函数

解析，且

柯西型积分的主值

在L为简单光滑闭曲线的情形下，进一步研究柯西积分的性质，为了简单起见，将L所围成的有界区域记作D+(不妨设原点在其内部)，以L为边界的无界区域记作D-。

定义1 设函数在L上有定义，若存在常数及，使得对于任意的均有

则称在L上满足赫尔德条件，并记或简记

当时，柯西型积分

作为瑕积分一般是不收敛的，但是，如果在L上满足赫尔德条件，则在柯西主值意义下，积分是收敛的，从而有确定的值。

定理2 如果L是Z平面上一条简单光滑闭曲线，在L上满足赫尔德条件，则柯西型积分(1) 在主值意义下存在，并且

柯西型积分的极限值

引理如果L及满足定理2的条件，则对于L上任一点，当时，函数

有确定的极限值。

定理3 如果L及满足定理2的条件，则对于L上任一点，有

其中。

(2)称为萨霍茨基——普莱梅公式(简称普莱梅公式)，它可以写为

也可以写为

参考资料

最新修订时间：2023-01-08 17:47

条目作者

概述

基本介绍

柯西型积分的主值

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