杨氏不等式
数学不等式
杨氏不等式（Young‘s Inequality）又称Young不等式 ，是加权算术几何平均值不等式的一种特例，杨氏不等式也是证明赫尔德不等式的一个快捷方法。
一般形式
假设是非负实数，，那么
等号成立当且仅当.
加权形式
假设是非负实数，，，那么
其中任意小而任意大，且。
在文献的第8章第33个不等式的定义中取函数, 由等式成立当且仅当推出：当且仅当时加权形式Young不等式中的等号成立。
Young不等式是加权算术－几何平均值不等式的特例，Young不等式是证明赫尔德不等式的一个快捷方法
推广
设是一个连续、严格递增函数且，那么下面的不等式成立：
观察 的图形，很容易看出这个不等式的一个直观证明：以上两个积分式所表示的区域之和比由和组成的矩形的面积大。
证明
方法1
若，不等式显然成立。
若，令,，则该不等式变为：
设，则
时,，故时，严格递增，时，严格递减，故，得证。
时,，故时，严格递减，时，严格递增，故，得证。
方法2
如果且，而数p,q满足：1/p+1/q=1，那么
可以先证明：时，
；
或;
f'(x)=α[x^(α-1)-1],f'(1)=0
当时;
当x∈(0,1);f'(x)
当x∈(1,+∞);f'(x)
∴f(x)在x=1处取最大值，又f(1)=0，∴f(x)
当α1或α0时，
当x∈(0,1)时，f'(x)0，
当x∈(1,+∞)时，f'(x)0，
∴f(x)在x=1处取最小值，又f(1)=0，∴f(x)≥0
代入，x=a/b,α=1/p，得
当p时，即α1：
(a/b)^(1/p)-(1/p)*(a/b)+1/p-1≤0
即(a/b)^(1/p)≤(1/p)*(a/b)+1/q
同时乘以b，得：
a^(1/p)*b^(1/q)≤(1/p)*a+(1/q)*b
当p时，即α或α
(a/b)^(1/p)-(1/p)*(a/b)+1/p-1≥0即(a/b)^(1/p)≥(1/p)*(a/b)+1/q
同时乘以b，得：a^(1/p)*b^(1/q)≥(1/p)*a+(1/q)*b
证明2：令f（a）=a^p/p+b^q/q-ab，
f′（a）=a^（p-1）-b
令f′（a）0，分2种情况
1、p，ab^（1/（p-1））
f（a）f（b^（1/（p-1）））=0
即a^p/p+b^q/qab
2、p，ab^（1/（p-1））
f（a）f（b^（1/（p-1）））=0
即a^p/p+b^q/qab
证毕.
方法3
由于,
当结论显然成立，当，即,,
∴（由加权平均值不等式）
证毕.
方法4
两边求自然对数，原不等式即为
而为上凸函数，由加权琴生不等式，得
得证.
参考资料
最新修订时间：2024-10-24 15:15
条目作者
小编
目录
概述
一般形式
加权形式
推广
证明
参考资料

Copyright©2024 闽ICP备2024072939号-1