有限群是具有有限多个元素的群。群论的重要内容之一。其所含元素的个数，称为有限群的阶。有限群可分为两大类：可解群与非可解群（特别包括非交换单群）（见群、有限单群）。

设G是一个群， 如果G是有限集合，那么就称为有限群。

假若群G是一个有限群，则组成G的元的个数为G的阶，记为 |G|。

有限群G的元称为p幂幺元，若其阶为p的幂；称为p正则元，若其阶与p互素。

有限群论是群论的基础部分，也是群论中应用最为广泛的一个分支。历史上，抽象群论的许多概念起源于有限群论。近年来，随着有限群理论的迅速发展，其应用的日益增多，有限群论已经成为现代科技的数学基础之一，是一般科技工作者乐于掌握的一个数学工具。有限群论无论是从理论本身还是从实际应用来说，都占有突出地位，它中的置换群、可解和非可解群、幂零群、以及群表示论等等，都是重要的研究对象，总之，其内容十分丰富而且庞大。

有限群的研究起源很早，其形成时期是与柯西、拉格朗日、高斯、阿贝尔以及后来的伽罗瓦、若尔当等人的名字相联系的。1829年伽罗瓦（Galois）引入了置换群的概念，并成功地解决了一个方程可用根式求解的充要条件。置换群是群论历史上最先知道的一种具体的群。拉格朗日和高斯在研究数论中的二次型类是出现过交换群的概念；Cayley（凯莱）曾经在1849年提出过抽象群，但这个概念的价值当时没有被认识到，远远超越时代的Dedekind（戴德金）在1858年给有限群下了一个抽象的定义，这个群是从置换群中引导出来的，他又在1877年提出了一个抽象的有限交换群。Kronecker（克罗内克）也给出了一个相当于阿贝尔群的定义，他规定了抽象的元素，运算，封闭性，结合性，交换性。以每个元素的逆运算的存在和唯一。他还证明了一些有关群的定理。1878年又是凯莱提出了一个群可以看作一个普遍的概念。毋需只限于置换群，这样认识到抽象群比置换群包含更多的东西。德国数学家霍尔德在l889年以后的若干年内，详细地研究了单群和可解群，证明：一个素数阶循环群是单群，n个（n>=5）文字的全部偶置换组成的交换群是单群。他还发现了许多其他有艰的单群。赫尔德和若尔当还建立了在有限群中的若尔当一霍尔德合成群列和若尔当一霍尔德定理。在19世纪末，德国数学家弗罗贝尼乌斯、迪克和英国数学家伯恩塞德等都致力于可解群的研究。20世纪初伯恩塞德证明的关于 (p,q是素数）必是可解群的定理，导致了对有限单群进行分类的重要研究。美国数学家汤普森和菲特在20世纪60年代初证明了有限群中长期悬而未决的一个猜想（伯恩塞德猜想）；奇数阶群一定是可解群。它推动了有限群理论的发展。有限单群的完全分类，即找出有限单群所有的同构类，经过上百名数学家约百年的共同努力．于1981年得到完全解决，这是数学史上的一个非凡成就。

比如素数阶的有限群都是循环群。

有限群的分类是个重要的数学问题。这个问题经过许多数学家的努力中有了完美的答案（相关概念如“魔群”）。

Z表示循环群，S表示置换群，A表示交错群，D表示二面群，×表示直积。

群中长期悬而未决的一个猜想，奇数阶的群一定是可解群，因而有限非交换单群的阶必为偶数。

有限群理论中一个经典而重要的结果是著名的拉格朗日定理：有限群G的阶│G│等于G的子群H的阶│H│与H在G内的指数│G:H│的乘积，即│G│=│H│·│G:H│。但是，并非对│G│的任何因数d,G一定有阶为d的子群。例如，四次交错群A4的阶为12，而A4没有6阶子群（见置换群）。当│G│的因数是pk形的数即一素数p的k次幂时，则G必有阶为pk的子群。这就是有名的西罗第一定理。若除尽│G│的p的最高次幂是pm，其中p是素数，m是自然数，则G的pm阶子群称为西罗p子群。所谓西罗第二定理，其意为：①G中任两个西罗p子群在G内是共轭的；②G中西罗p子群的个数N，必满足N呏1（modp），且为任一西罗p子群的正规化子在G内的指数；③G中凡是阶为pk的子群必为某西罗p子群的子群。进一步有关于有限可解群的西罗基定理：G为可解群的公式

充分必要条件是G有一组西罗基S1，S2，…，Sr，使G=S1S2…Sr。所谓西罗基，是指当G的阶（素因数分解）时，G的一组西罗pi子群Si，i=1，2，…，r，且，使。可解群的西罗基往往不止一组，但是，可解群的任意两组西罗基S1,S2，…，Sr与p1，p2，…，Sr是等价的，即在G中必有元素g使。阶为素数幂的群，习惯上称为p群。西罗子群都是 p群。有限可解群可以表为p群之积。西罗第一定理和第二定理统称为西罗定理。在有限可解群中可得到西罗定理推广的结果：有限群G为可解群的充分必要公式

条件是，只要有分解│G│=mn,(m,n)=1，G就有阶为m的子群；当G是可解群时，凡是阶为m的子群必互为共轭，若m1│m，则G中凡是阶为m1的子群必为G中至少一个阶为m的子群的子群。这样的m阶子群，通常称为可解群G中的霍尔π子群。　所谓群的π 性质，意即西罗性质的推广。西罗性质是西罗定理的同义语，即如果有限群G的阶|G|=g,h│g，（h,g/h)=1,h为素数幂，那么G至少有一个h阶子群，且任意两个h阶子群是共轭的，而G中凡是以h的因数为阶的子群，一定是G中某个h阶子群的子群。P.霍尔去掉上述条件中的“h为素数幂”而设“G是可解群”并得到了同样的结论。于是，根据P.霍尔的这一思想方法，将“h为素数幂”改为其他条件来进行探索的工作颇多。例如，“h为素数幂”改为“G包含一个h阶幂零子群”，仍得到相应的结论，即古典的西罗定理推广到含有h的一切素因数的集合π上所得的结果。

当可解群 G的西罗基中诸西罗子群都是正规子群时，则可解群G称为幂零群。幂零群是可解群中的一个子类。有限群G为幂零群的充分必要条件是，G可表为p群的直积。p群自身当然是幂零群。除公式

了这个充分必要条件外，还有几个互为等价的充分必要条件，其中最重要的是，G有上中心列或下中心列。所谓上中心列，是指G有长为m的子群列，使，且其中 Z1(G）为 G 的中心Z(G），而递归地给出Zk+1(G）使Zk+1(G)/Zk(G）是商群G/Zk(G）的中心。由G的限性可知，必有某自然数k使，因此当m≥k时，恒有Zm(G)=Zk(G）。特别地，有某m使Zm(G)=G。所谓下中心列，是指G有长为n的子群列。设H、K是G的任意两个子集，【H,K】表示由形如 的元素所生成的G的子群，即【H,K】=<；【h,k】│h∈H，k∈K>；，于是【H,K】=【K,H】。当【x1，…，xn】定义后，再递归地定义。同样，对G的子集H1，…，Hn也作公式

类似的定义，且当任意xi∈G(i=1,2，…，n）时，则定义，因此，且。易知。从G的有限性可知，有某自然数k使。因此当m≥k时恒有Km(G)=Kk(G）。特别地，有自然数 n使Kn+1(G)=1。有限群的上中心列和下中心列两者同时存在，且其长相等，此时G必为幂零群，称为n类幂零群。因而，1类幂零群就是交换群。由此可知，幂零群是介于交换群与可解群之间的一类群。幂零群有下中心列，可解群则有换位群列。G为可解群的充分必要条件是，G有换位群列。所谓换位群列，是指G的子群列，式中为的换位子群，即，而n是某一正整数。此时G也称为n步可解群。1步可解群就是交换群。

在有限群的研究中，p群具有重要的意义。互不同构的pn阶群究竟有多少个，是一个古老而艰难的问题。迄今只解决了当p为奇素数且n≤6时以及当p=2且n≤7时阶群的个数问题。关于p群方面的工作颇多，其中由P.霍尔发表的计数原理与正则 p群是奠基性的工作。所谓计数定理，例如，设公式

|G|=pn,Sk(G）表示G中pk阶子群的个数，其中0≤k≤n。当Sk(G)=1（12则对于1≤k≤n-1有（库拉科夫定理）。又令Ck(G）表pn阶群G中pk阶循环子群的个数。设G是非循环群，p>2，则对于1华罗庚、段学复早在20世纪40年代就曾一起进行过一些工作。例如，设p>2,|G|=pn,pn-α为G中元素之阶的最大数，且n≥2α+1，华罗庚于1945年证明了对于α+1≤m≤n-α有Cm(G)=p。段学复于1948年证明了对于 2α+1≤m≤n，Sm(G）与1，1+p，1+p+p2、1+p+2p2四者之一同余mod p3。所谓正则 p群，是指具有如下性质的p群G：对于G的任意元素α、b恒可找到r个元素с1，с2，…，сr，使每个сi∈<；α，b>；┡=【<；α，b>；，<；α，b>；】即每个сi在由α、b生成的群之换位子群内，且有，其中自然数r随元素α、b决定。交换p群、阶不超过pp的p群以及幂零类小于p的p群，都是正则p群；换位子群为循环群而p为奇素数的p群、凡非单位元的阶等于p的p群，也都是正则p群。正则p群在p群中有众多例子。但非正则p群也是存在的，例如，p2次对称群中西罗p子群就是pp+1阶非正则p群。

研究有限群的一个重要方法。设A、B是已知的两个群，如果作一群G，使得AG，且商群G/A≌B，那么群G称为B基于A的扩张。一般，B基于A的扩张不是唯一的，例如，A与B的直积A×B是B基于A的一个扩张，而A与B的半直积也是B基于A的扩张。所谓A与B的半直积为G，是指G=AB,AG，且A∩B=1（即B为A的补子群）。A与B的半直积又称为A的分离扩张。B基于A的扩张为 A与B的半直积的一个充分条件是：A的阶与B的阶互素。这就是著名的舒尔-扎森豪斯定理。当B为循环群时，很容易决定扩张的构造。例如，m阶循环群基于n阶循环群的扩张，必为G=<；α，b>；，有定义关系αn=1，bm=αt,b-1αb=αr使满足rm呏1（mod n）及t（r-1）呏0（modn）。因为有限群有合成群列，这里，Gi/Gi+1是单群。因此，Gr-1是单群，且Gr-2是Gr-2/Gr-1基于Gr-1的扩张。若得知Gr-1的构造，则可借助于扩张理论得知Gr-2的构造，从Gr-2的构造以及Gr-3是Gr-3/Gr-2基于Gr-2的扩张可知Gr-3的构造，如此继续进行下去，则终究可得知G的构造。由此可见，研究单群与扩张理论是有限群研究的根本课题。

研究有限群的一个重要方法。设 A是有限群G的任一个子群，将G表为A的右陪集的并集，即，于是│G:A│=n。令A┡=【A,A】，并作商群A/A┡，且用表以G关于A┡的右陪集为元素的集合，若令，则知的每一元素可唯一表为μ=αμi，即唯一决定数码i及交换群A/A┡的一个代表元素α，α∈A，因此，对G的每一元素g，有，式中（1g,2g，…，ng）为（1,2，…，n）的一个排列，且αi,g∈A。作矩阵Mg=（αi,g）使其第i行第ig列交叉处的元素为αi,g(i=1,2，…，n），而其他处的元素均为0。易证。由此可知，映射g →Mg是G的一个同态映射，称为G的单项表示。因A/A┡是交换群，故可引进行列式，简记为。于是，映射也是G的同态映射，即G到A/A┡内的同态映射，称为G到子群A的转移。利用转移方法可得出许多重要结果。例如，有限群G的西罗p子群p若包含于其正规化子的中心之内，即，则有G=Np，N G,N∩p=1。这就是又一个著名的伯恩赛德定理。由此可知，阶为合数的单群只有两种可能：或为阶被12整除的单群或为阶被8整除的单群。

它是介乎幂零群与可解群之间的一类有限群。所谓超可解群，是指有限群G有一个有限多个正规子群的递降列使每个商群Gi-1/Gi为循环群。因此，超可解群是可解群的特例，又是幂零群的推广。判断有限群G 为超可解群有许多等价的充分必要条件，其中常见的有：①G的每个极大子群的指数为素数；②G的主群列的商因子皆为素数阶的循环群；③G的每一子群H（≤G）都有一切可能阶的子群。

可解群

如果有限群G公式

之合成群列的每个商群Gi-1/Gi（称为G的合成商因子）是交换群，那么有限群G称为可解群。易知，若G的合成商因子Gi-1/Gi是交换群，则必为素数阶的循环群。所谓G的合成群列，是指在G中由有限多个子群组成的降链如，使得Gi是Gi-1的极大正规子群，即，且凡满足GiG1>；…>Gr=1所成的每公式

个商群是单群。

在群G中由有限多个正规子群组成的降链使Gi为真包含于Gi-1内的G之极大正规子群（即Gi-1/Gi是G/Gi的极小正规子群），称为G的主群列。G的任意两个主群列是等价的。其等价定义与合成群列的等价定义相同。

有限群有合成群列或主群列存在，且任意两个合成群列或主群列是等价的。这就是若尔当-赫尔德-施赖埃尔定理。凡是阶等于pαъ的群恒为可解群，其中p、是互异的素数，α、b是非负整数。这就是著名的伯恩赛德定理。而W.费特、J.汤普森在20世纪60年代初期又证明了有限。

非可解群中还有很多属于数学的难题，许多数学家也发表了不少见解和猜想。如：

《最高阶元素个数为40的非可解群的分类 》、《具有一个很大交换子群的有限非可解群》等等。