极值定律是概率论中的一个定理，它描述了随机变量取极大或极小值的概率分布，常用于风险评估和极端事件的研究。

在数学分析中，极值定理说明如果实函数f(x)在闭区间[a,b]上是连续函数，

则它一定存在至少一个的最大值和最小值，即[a,b]区间内至少存在两点存在x1和x2，对任意,恒有。

有界闭区域上的二元连续函数也有类似于一元函数的最值定理。

同理，根据有界性定理，可得在闭区间[a,b]内的连续函数f在该区间上有界，即存在实数m和M，使得：m≤f(x)≤M。

这表明极值定理强化了有界性定理，它表明函数不仅是有界的，而且它的最小上界就是最大值，最大下界就是最小值。

证明极值定理的基本步骤为：

1.证明有界性定理。

2.寻找一个序列，它的像收敛于f(x)的最小上界。

3.证明存在一个子序列，它收敛于定义域内的一个点。

4.用连续性来证明子序列的像收敛于最小上界。

5.同理证明最大下界。

有界性定理的证明

假设函数f(x)在区间[a,b]内没有上界，则根据实数的阿基米德原理，对于每一个自然数n，都存在[a,b]内的一个xn，使得f(xn) ＞ n。这便定义了一个序列{xn}。由于[a,b]是有界的，根据波尔查诺-魏尔施特拉斯定理，可推出存在{xn}的一个收敛的子序列{Xnk}。把它的极限记为X；由于[a,b]是闭区间，它一定含有X；因为f(x)在X处连续，我们知道{f(Xnk)}收敛于实数f(X)。但对于所有的k，都有f(Xnk) ＞ nk ≥ k，这意味着{f(Xnk)}发散于无穷大和X收敛相矛盾。因此，f在[a,b]内有上界。

极值定理的证明

我们现在证明函数f(x)在区间[a,b]内有最大值。根据有界性定理，f(x)有上界，因此，根据实数的戴德金完备性，f的最小上界M存在。我们需要寻找[a,b]内的一个d，使得M = f(d)。设n为一个自然数。由于M是最小上界，M – 1/n就不是f(x)的最小上界。因此，存在[a,b]内的dn，使得M – 1/n ＜ f(dn)。这便定义了一个序列{dn}。由于M是f的一个上界，我们便有M – 1/n ＜ f(dn) ≤ M，对于所有的n。因此，序列{f(dn)}收敛于M。

根据波尔查诺-魏尔施特拉斯定理，可知存在一个子序列{Dnk}，它收敛于某个d，且由于[a,b]是闭区间，d位于[a,b]内。因为f在d处连续，所以序列{f(Dnk)}收敛于f(d)。但{f(Dnk)}是{f(dn)}的一个子序列，收敛于M，因此M = f(d)。所以，f在d处取得最小上界M。