方差的概念与计算公式，例如 两人的5次测验成绩如下：X： 50，100，100，60，50，平均值E(X)=72；Y：73， 70，75，72，70 平均值E(Y)=72。平均成绩相同，但X 不稳定，对平均值的偏离大。方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。单个偏离是消除符号影响方差即偏离平方的均值，记为E(X)：直接计算公式分离散型和连续型。推导另一种计算公式得到：“方差等于各个数据与其算术平均数的离差平方和的平均数”。其中，分别为离散型和连续型计算公式。 称为标准差或均方差，方差描述波动程度。

方差：一组数据中各个数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数

设一组数据,,……中的平均数为，则该组数据方差的计算公式为 ,也可记为。为了简便可写为 （其中为该组数据的平均值）。

方差反映的是一组数据偏离平均值的情况，是反映一组数据的整体波动大小的特征的量方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。

已知离散型方差分布列：

DX公式刻画了随机变量X与其期望值EX的平均偏差程度，称DX为随机变量X的方差。为X的标准差(Standard Deviation)或均方差，记为σX。

方差的性质

1．设C为常数，则D(C) = 0（常数无波动）；

2． （常数平方提取）；

证：

特别地 D(-X) = D(X), D(-2X ) = 4D(X)（方差无负值）

3．若X 、Y 相互独立，则证：记则

前面两项恰为 D(X)和D(Y)，第三项展开后为

当X、Y 相互独立时，

故第三项为零。

特别地

独立前提的逐项求和，可推广到有限项。

平均数： （n表示这组数据个数，x1、x2、x3……xn表示这组数据具体数值）

方差公式：

标准方差公式(1)：

标准方差公式(2)：

其中,

设随机变量X具有数学期望 ，方差 ，则对于任意正数 ，不等式

成立。这一不等式称为切比雪夫（Chebyshev）不等式。

常用分布的方差

1．两点分布

2．二项分布 X ~ B ( n, p )

引入随机变量Xi （第i次试验中A 出现的次数，服从两点分布）

3．泊松分布（推导略）

4．均匀分布 另一计算过程为

5．指数分布（推导略）

6．正态分布（推导略）

7.t分布：其中X~T（n），E（X）=0；

8.F分布：其中X~F（m,n）,

正态分布的后一参数反映它与均值的偏离程度，即波动程度（随机波动），这与图形的特征是相符的。