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数域

数学术语

设P是由一些复数组成的集合，其中包括0与1，如果P中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍是P中的数，则称P为一个数域。

定义

设P是由一些复数组成的集合，其中包括0与1，如果P中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍是P中的数，则称P为一个数域。

常见数域：复数域C；实数域R；有理数域Q。

（注意：自然数集N及整数集Z都不是数域。）

说明：

1）若数集P中任意两个数作某一运算的结果仍在P中，则说数集P对这个运算是封闭的。

2）数域的等价定义：如果一个包含0，1在内的数集P对于加法，减法，乘法与除法（除数不为0）是封闭的，则称数集P为一个数域。

数域的性质定理

（1）任意数域P都包括有理数域Q；即，有理数域为最小数域。

证明：设P为任意一个数域，由定义可知，，于是有，进而有，而任意一个有理数可表成两个整数的商，所以。

（2）设F1及F2是两个数域，则也构成一个数域。

举例

数域因为其定义过于广泛，没有太好的性质，在数学中的直接应用很少，经常用到的是它的一些子对象，例如：

代数数域，即有理数域的有限扩张，例如有理数域和高斯域。

阿基米德局部域，实数域和复数域，它们是代数数域关于通常的绝对值做完备化得到的域。

的代数闭包。

分圆域，它是有理数域的射线类域（ray class field），即所有的有限阿贝尔扩张均包含在某个分圆域中。它也是代数数域，扩张次数是的欧拉函数。

参考资料

最新修订时间：2022-08-25 13:41

条目作者

概述

定义

数域的性质定理

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