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换元积分法

数学名词

换元积分法（Integration By Substitution）是求积分的一种方法，主要通过引进中间变量作变量替换使原式简易，从而来求较复杂的不定积分。它是由链式法则和微积分基本定理推导而来的。

定义

换元积分法是求积分的一种方法。它是由链式法则和微积分基本定理推导而来的。

在计算函数导数时.复合函数是最常用的法则,把它反过来求不定积分，就是引进中间变量作变量替换，把一个被积表达式变成另一个被积表达式。从而把原来的被积表达式变成较简易的不定积分这就是换元积分法。换元积分法有两种，第一类换元积分法和第二类换元积分法。

两种方法

第一类

第一类换元法,也称为凑微分法，推导过程如下：

设在上有定义，在上可导，且，，并记，。

若在上存在原函数，则在上也存在原函数，，即

在使用时，也可把它写成如下简便形式：

使用这种方法的关键在于将凑成，以及的原函数容易获得，下面通过一个例子来讲解：

求

解：

第二类

设在上有定义，在上可导，且，，并记，。

若，，则当在上存在原函数时，在上也存在原函数，且，即

(其中是的反函数)

此时观察这两类换元法的定理公式，发现它们是互相可逆的。

例如：

为了消去根式，令，即，则dx=2tdt，于是：

例子

计算积分。

其中换元为后，亦变为，是因为其形式为黎曼－斯蒂尔杰斯积分，但在黎曼－斯蒂尔杰斯积分中变数的取值范围应该还是x的取值范围，而不是g(x)的取值范围。

参考资料

最新修订时间：2023-03-18 00:09

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概述

定义

两种方法

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