指标形式（index form）由测地线第二变分确定的二次型.设Y（t） （a镇t镇b）是黎曼流形M中一条以弧长t为参数的测地线.用.（a,b）表示沿着测地线州:。，习定义的分段光滑切向量场的集合，则指标形式I（·，·）是定义在.（＜;a,b）上的对称双线性形式

方程式介绍

其中（X,YE.Ca,b）,X'（t）=（Dr-X,Y'＜t）=（Dr.Y.若UE.＜a,b）且U（a）=（UCb）=0，则关于以U为变分向量场的变分a;a,司X（一。,e）M，弧长的第二变分恰好是1 ''（0） =（1 ＜U土，U_L ），其中U土表示向量场U与Y正交的分量.指标形式是莫尔斯（Morse,H. M.）引进的.若（oCa,b）=（X E ＜a,b） X（a）=X （b ）=0，则著名的莫尔斯指标定理叙述为:对于黎曼流形M中以弧长t为参数的测地线（Y fit）（a毛t镇b），空间（oCa,b）的使指标形式I（·，·）在其上的限制为负定的极大子空间的维数是有限的，称为测地线Y（t）（a毛t镇b）的指数，它恰好等于端点x=Y（a）在测地线Y（t） a镇（t＜b ）上（不含端点Y（b））的共扼点的个数（按共扼点的重数计算）.若Y＜（b）不是x的共扼点，则1在.（o＜a,b）中零化子空间为零;若Y（b）是二的共扼点，则1在.o（a,b）中的零化子空间的维数恰好是Y（b）作为二的共扼点的重数，记为（u＜b）.这样，上述定理的前一部分可重新表述为:测地线（Y＜t）（a镇t镇b）的指数

而且等号仅当W=J时成立.上述命题称为基本指标引理，在大范围黎曼几何中有许多重要的应用.