曲线凹性改变的点.在该点两侧附近,曲线的严格凹凸性相反,即在一侧严格凸(凹),而在另一侧严格凹(凸).若P是拐点且在P处有切线,则曲线将在P处穿过切线,而且在P点附近的曲线段位于由该切点与P处的法线形成的一对对顶角内.

设函数是在点的邻域中定义且可微的函数.如果该函数在集合上是下（上）凸函数, 而在集合上是上(下)凸函数, 则图像上的点称为它的拐点.

拐点的研究可以追溯到18世纪。在微积分的早期发展中，欧拉、拉格朗日等数学家对拐点进行了深入研究。他们提出了一些关于拐点的定理和判定条件。其中，拉格朗日的《Analytical Mechanics》一书中详细介绍了拐点的性质和应用。

拐点的研究在数学和物理学中都有广泛的应用。在微分方程的定性理论中，拐点是分析相图的重要工具。在微分几何中，拐点是研究曲线的几何性质的重要工具。在微分拓扑中，拐点是研究曲线的拓扑性质的重要工具。在数学分析中，拐点是研究曲线的凹凸性质的重要工具。因此，拐点是研究曲线的重要工具。

例如: 的点是一个鞍点，切线为轴,切线正好将图像分为两半。

定理 1. 若在点二阶可导,则为曲线的拐点的必要条件是.

定理 2. 若在点可导, 在某邻域上二阶可导.若在和上的符号相反,则为曲线的拐点.

定理 3. 若在的某邻域内三阶可导,且,则为曲线的拐点.

定理 4. 若在处阶可导,且,则当是奇数时, 为曲线的拐点.

在前面的讨论中，我们已经知道是判断拐点的必要条件。然而，需要注意的是，并不是判断拐点的充分条件。即使在的情况下，曲线仍然可能在该点的左邻域和右邻域都不保持确定的凹凸性。因此，我们需要进一步的条件来判断拐点的存在。

不应该认为一条曲线在某点从切线的一侧转向另一侧是判断该点为拐点的充分条件,因为曲线有可能在该点的左邻域和右邻域都不保持确定的凹凸性.这样的例子是容易构造的.

设

则当时,,当时,.因此,该函数的图像在点与横坐标轴相切,并在这个点从下半平面转向上半平面.同时,函数的导数

在点的左邻域和右邻域中都不单调.

也存在,且在点处.

然而,函数在点的左邻域和右邻域中都不单调.因此,是判断拐点的必要条件,但不是充分条件.即使在的情况下，曲线仍然可能在该点的左邻域和右邻域都不保持确定的凹凸性。因此，我们需要进一步的条件来判断拐点的存在。

拐点是曲线凹凸性改变的点,在这些点上,曲线的凹凸性发生了突变,因此拐点是曲线的重要特征之一.在数学分析、微分几何、微分方程、微分拓扑等领域,拐点都有重要的应用.例如,在微分方程的定性理论中,拐点是分析相图的重要工具.在微分几何中,拐点是研究曲线的几何性质的重要工具.在微分拓扑中,拐点是研究曲线的拓扑性质的重要工具.在数学分析中,拐点是研究曲线的凹凸性质的重要工具.因此,拐点是研究曲线的重要工具.