群是一种只有一个运算的、比较简单的代数结构；是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。子群是群的特殊的非空子集。群G的非空子集H，若对G的乘法也成为群，则称H为G的子群。

惯性群是分解群的一个正规子群。它所决定的商群同构于相应的剩余域的伽罗瓦群。若N是域F的一个正规扩张，C与π分别为N的一个赋值环与对应的位，并且N-，F-分别是赋值环C，C∩F的剩余域，则N-是F-的正规扩张，且有一个从分解群G(C，F)到伽罗瓦群Aut(N-/F-)的满同态φ，使得对：

当且仅当：

同态φ的核称为C关于F的惯性群，记为。惯性群可如下给出：

其中MC是C的赋值理想。惯性群在N中的固定子域称为C关于F的惯性域。

群是一种只有一个运算的、比较简单的代数结构；是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。

设G为一个非空集合，a、b、c为它的任意元素。如果对G所定义的一种代数运算“·”(称为“乘法”，运算结果称为“乘积”)满足：

(1)封闭性，a·b∈G;

(2)结合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)对G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，则称G对于所定义的运算“·”构成一个群。例如，所有不等于零的实数，关于通常的乘法构成一个群;时针转动(关于模12加法)，构成一个群。

满足交换律的群，称为交换群。

群是数学最重要的概念之一，已渗透到现代数学的所有分支及其他学科中。凡是涉及对称，就存在群。例如，可以用研究图形在变换群下保持不变的性质，来定义各种几何学，即利用变换群对几何学进行分类。可以说，不了解群，就不可能理解现代数学。

1770年，拉格朗日在讨论代数方程根之间的置换时，首先引入群的概念，而它的名称，是伽罗华在1830年首先提出的。

子群是群的特殊的非空子集。群G的非空子集H，若对G的乘法也成为群，则称H为G的子群，记为H≤G。若子群H≠G，则称H为G的真子群，记为HG或简记为H充分必要条件是：对任意的a，b∈H，恒有ab∈H。若{Hi|i∈I}是G的子群的集合，I是一个指标集，则所有Hi的交Hi是G的一个子群。

伽罗瓦群是伽罗瓦理论的一个重要概念。设K是域F的伽罗瓦扩域，K的F自同构群G(K/F)称为K/F的伽罗瓦群.当K为F可分闭包时，G(K/F)称为F的绝对伽罗瓦群。若K是F的一个有限次伽罗瓦扩域，则G(K/F)是一个[K∶F]阶群.由于有限次伽罗瓦扩域等同于某一可分多项式的分裂域，因此，若域K是域F上一个可分多项式f(x)的分裂域，则其伽罗瓦群G(K/F)就称为f(x)的伽罗瓦群，从而有限次伽罗瓦扩域的伽罗瓦群必为某一多项式的伽罗瓦群。在历史上，是伽罗瓦(Galois，E.)首先对多项式引入伽罗瓦群的概念。

伽罗瓦群的一个子群。它使得这个正规扩张的某个赋值环稳定不变。若N是域F的一个正规扩张，C是N的一个赋值环。在伽罗瓦群Aut(N/F)中，子集：

组成一个子群。该子群称为C关于F的分解群。分解群G(C，F)在N中的固定子域称为C关于F的分解域。

亦称不变子群。一类重要的子群。在共轭作用下不变的子群。设H是群G的一个子群，若对任意的x∈G有Hx=xH，则称H是G的一个正规子群，记为HG。子群H是G的正规子群的充分必要条件是对于任意的h∈H，x∈G，有xhx∈H.{e}和G是G的两个正规子群，称为G的平凡正规子群。

正规扩张是一种重要的代数扩张。它与多项式的分裂域密切相关。代数扩张K/F称为正规扩张，是指F[X]中每个在K中有根的既约多项式，在K[X]中可以分解为一次因子的乘积。它等价于K的任意元α在F上的最小多项式在K[x]中可以分解为一次因子的乘积。一个代数扩张K/F的正规闭包是指F的一个正规扩张，它包含K且它包含的K的任意真子域在F上都不是正规的。值得注意的是，即使E/F，K/E是正规扩张，也不能推出K/F是正规的。例如，对域链：

都是正规的，但不是正规的。