在实数域中，根据
惯性定理，每个
对称矩阵都合同于一个对角线上元素只由0和1、-1构成的
对角矩阵。如果设1的个数是p，-1的个数是q，那么给定(p,q)后，就确定了一个关于合同关系的
等价类。数对(p,q)称为一个对称矩阵（或相应
二次型）的惯性指数，其中1的个数p称为
正惯性指数， -1的个数q称为
负惯性指数， p-q叫做符号差。据此可以得出：合同关系将所有的
实对称矩阵分为n+1个等价类。
任意一个实系数的二次型f(x1，x2：，…，xn)总可以经过实系数的非退化线性替换X=CY化为
平方和 的形式，称作实二次型f(x1，x2，…,xn)的规范形，其中平方项的个数r等于二次型的秩．任一实二次型的规范形是唯一的，即若实二次型f(x1，x2，…,xn)经过实系数非退化线性替换X=DZ变成规范形 ，则有p=q，这就是实二次型惯性定理．在实二次型f(x1，x2，…,xn)的规范形中，正平方项的个数p称为实二次型的正惯性指数，负平方项的个数r一p称为实二次型的负惯性指数，正负惯性
指数的差p-（r-p）=2p-r称为实二次型的符号差．在非退化实线性替换下，实二次型的
秩、
正惯性指数、负掼性指数、符号差都是定值．
把二次型f所化得的标准二次型的平方项的系数中,正的个数和负的个数分别称为f的正惯性指数和
负惯性指数．
用矩阵的语言来表述即：与一个给定的实对称矩阵A合同的对角矩阵的对角线元素中,正的个数和负的个数是由A确定的，把这两个数分别称为A的正惯性指数和负惯性指数．合同于A的规范
对角矩阵是唯一的，其中的自然数p，q就是A的正，负惯性指数．
从化标准形为规范形的过程看到，标准形中正(或负)平方项的个数就是正(或负)惯性指数．因此，虽然一个二次型有不同形式的标准形．但每个标准形中所含正(或负)平方项的个数是一样的．
定理1 两个二次型可以用可逆线性变量替换互相转化的
充分必要条件为它们的正，负惯性指数都相等．(即两个
实对称矩阵合同的充分必要条件为它们的正，
负惯性指数都相等．)
定理2 实
对称矩阵A的正(负)惯性指数就是它的正(负)特征值的个数．