循环群是一种很重要的群，也是已被完全解决了的一类群。其定义为若一个群G的每一个元都是G的某一个固定元a的乘方，则称G为循环群，记作G=(a)，a称为G的一个
生成元。循环群有无阶循环群和有阶循环群两种类型。
定义
若一个群G的每一个元都是G的某一个固定元a的乘方，则称G为循环群，记作G=(a)={am |m∈Z}，a称为G的一个
生成元。
特别地，如果G的代数运算采用加号表示时，则有 (a)={ma | m∈Z}
性质
定理1
设(a)是一个循环群，
(1)若|a|=∞，则(a)与整数加群Z同构；
(2)若IaI=n，则(a)与模n的剩余类加群Zn同构。
证(1)|a|=∞，则当m≠n时，
am≠an，(a)={…，a-2，a-1，e，a1，a2，…}.
于是令 φ：(a)→Z，am→m可以证明这是循环群(a)到整数加群Z的一个双射，且
φ(am·an)=φ(am+n)=m+n=φ(am)+φ(an)，
故φ是(a)到Z的一个同构映射，所以(a)≌Z.
(2)设IaI=n，则(a)={e，a，a2，…，an-1}
令 σ：(a)→Zn，am→[m].
若有m，m′∈Z，m′>m使得am=am'，则am'-m=e，而an=e，所以n | m'-m，即m'=m(mod n)，因此[m′]=[m]，故σ是(a)到Zn的一个映射.
又∀[0]≤[k]≤[n-1]，有ak∈(a)，使得[k]=σ(ak)，且若am≠am′，则σ(am)≠σ(am′)，同时∀am、am′∈(a)，
σ(am·am')=σ(am+m')
=[m+m′]=[m]+[m′]
=σ(am)+σ(am′)，
所以σ是(a)到Zn的一个同构映射，即(a)≌Zn。
由于群之间的
同构关系具有反身性、对称性和传递性，故这个定理告诉我们，凡无限循环群都彼此同构，凡有限同阶循环群都彼此同构，而不同阶的群，由于不能建立双射，当然不能同构。这样抽象地看，即在同构意义下，循环群只有两种，即整数加群和模n的剩余类加群.
定理2
有且仅有两个元1和-1可以作为整数加群Z的生成元，且在Z中除零元外，每个元的阶都是无限的.
证 已证1和-1可以作为整数加群Z的生成元，如果另有k是生成元，则(k)=(1)=Z，这时由1∈(k)={km,m∈Z}，即存在m∈Z，使1=km，于是k=m=±1，所以只有两个元1与-1可以作为整数加群Z的生成元。
若k∈Z，k≠0，则∀m，n∈Z，m≠n，有mk≠nk，所以IkI=∞
说明，有且仅有两个元a与a-1可以作为无限循环群(a)的生成元，在无限循环群(a)中除单位元的阶是1以外，其余元的阶都是无限的.
定理3
在模n的剩余类Zn中，有
(1)|[k]|=n/(k,n)
(2)[k]是Zn的生成元<=>(k，n)=1.
证 (1)由定理可得.
(2)若[k]∈Zn，则([k])⊆Zn，由(1)与(k，n)=1知|[k]|=n，所以|([k])|=n，Zn=([k])
反之，设[k]是Zn的生成元，有([k])=Zn，所以|([k])|=n，由(1)知(k，n)=1.
此定理说明|(a)| =n时，(ak)=(a)<=>(k，n)=1。