弧长公式（Arc length formula）是一类计算曲线长度的公式，其中曲线多指光滑或者分段光滑的可求长度曲线。起初，阿基米德等数学家对圆周长和圆弧长进行了讨论。微积分理论出现后，数学家们给出了求解光滑曲线长度的一般方法。弧长公式在研究质点运动轨迹的长度等方面发挥了重要应用。

如图1所示，设圆的半径为，则圆的周长为：

在圆上截取对应圆心角大小为度的圆弧，可以证得，在圆的半径不变时，弧长正比于，不妨令：

因为这里取角的单位为度，所以当时，，代入得：

于是：

进而：

这里使用的是角度制表示，为了计算方便，引入弧度制，可以证明，当圆心角大小不变时，圆弧长和半径成正比，定义:

这时得到的比值就是角的弧度制表示，它是一个无量纲数，为了突出弧度制表示，可以将角的单位写作，整理定义式得：

这样，弧长公式就很简洁了。

圆弧是比较简单的光滑曲线，那怎样求解其他曲线的长度。为了方便讨论，这里只考虑光滑曲线，这类曲线的性质很好，可以满足微分运算需求。

当弧段方程可以取成，时，如图2所示，在曲线上截取一段很短的小弧段，此时可认为弧段为一条很短的线段，设弧段左侧端点为，右侧端点为，则，则小弧段的长度为：

令 ，可得积分变量：

其中被称为弧微分。如图3所示，将曲线分成无数个小弧段，将所有小弧段累加在一起，可得弧长：

当弧段方程可表示为x，时，同理可得：

当然，在这里使用了近似的办法，事实上可以严格证明，这两个公式确实是精确的。

不难看出，在上一部分推得的公式只能计算形如，或者x，的曲线。当计算形如圆、螺线、双纽线等曲线弧长时，由于曲线可能出现“回转”，或回转处会发散到无穷大。为了解决这个问题，可以将曲线先分割成若干段可以表示成函数形式的曲线，再分别进行计算。此外，有的曲线在直角坐标系中的表达式非常复杂，它的参数方程却非常简洁，这时不妨采用参数方程进行计算。

取，，，取一段很短的小弧段，同理可以得到：

其中表示弧段上的点对应的 取值范围的区间长度，令，得到：

于是可得弧长公式：

取一组特殊的参数方程：，，

直接代入弧长公式得：

这个公式就是上一部分推得的弧长公式，利用类似的方法可以得到三维空间中的弧长公式：

其中弧段参数方程为：，，，

也可以严格地证明这些公式，不过证明过程比较繁琐，这里不再赘述。

考虑弧段：，，将它写成参数方程的形式：

两边分别对求导得：

于是：

进而得到弧长：

很多空间曲线很难参数化，为了计算这些曲线的弧长，不妨尝试探索弧长公式的一般形式。

三维直角坐标系中，只需要两个关于坐标的约束方程即可确定曲线，即：

很难直接处理这个方程，不失一般性，考虑一种特殊的参数方程：

其中，，这里同样只考虑曲线光滑的情形。

（注：当空间曲线不能用进行参数化时，一般可以将曲线分割成若干段，其中的每一段都可以用进行参数化表示，因此这里不失一般性。）

可得弧长：

下面计算和，将开始的两个约束方程两边对求微分，根据链式法则：

这时一个非齐次线性方程组，因为在当前情况下 和 一定存在，所以方程一定有解，根据克拉默法则：

F和G的偏导数很容易计算，代入上面的两个解中即可算出和，其中形如的行列式为二阶雅可比行列式，也可写作。

设，，，于是：

代入弧长公式得：

这样，就得到了空间曲线弧长公式的一般形式。

可以尝试在空间直角坐标系中对质点的运动进行讨论，在一个确定的运动过程中，质点的位置坐标只和时间有关，速度可以写成：

取某个时刻 附近的时间微元 ，质点在这段时间中经过了弧微元 ，可以认为质点在极短时间内匀速直线运动，于是：

这正是之前推导得到的弧微元，不难看出，上式其实是将质点的轨迹写成了有关时间的参数方程。

在微积分诞生之前，数学家们利用了各种巧妙的几何方法来计算简单曲线的长度，例如，阿基米德采用多边形夹逼法对圆的周长进行计算。17世纪时期，牛顿和莱布尼兹分别使用不同的方式建立了微积分理论，他们都对光滑曲线长度的计算进行了不严格的讨论，《自然哲学的数学原理》中有相关的记载。不过当时的微积分理论尚未严格化。后来，随着欧拉、柯西等数学家进一步完善了微积分理论，弧长公式被严格证明。19世纪时期，弧长公式被推广到更高维的空间。如今，弧长公式仍是计算光滑曲线长度的有力工具。