平坦模
数学术语
平坦模(flat module)是一类重要的模，投射模一定是平坦模，反之不一定成立。环A上每个左A平坦模是投射模的充分必要条件是，环A是左完全环。
定义
定义1 平坦模是一类重要的模。右A模M，若函子-是正合的，则称是平坦模。类似地，对左A模M，若函子-正合，则称是平坦模。投射模一定是平坦模，反之不一定成立。环A上每个左A平坦模是投射模的充分必要条件是，环A是左完全环。
定义2-模叫作平坦的，若对每个单同态
映射也是单同态。
相关性质定理
推论1平坦模的同构像也是平坦的。
定理2令(或)，则有：是平坦的是平坦的。
定理3每个投射模都是平坦的。
引理4设有-模和，
(1) 若，则存在有限生成子模与（）使得。
(2)设，则。
推论5 设是一个模且使它的每个有限生成子模包含在一个平坦子模内，则M是平坦的。
推论6若对一个同态和一个模，
不是单同态，则存在有限生成子模使得也不是单同态。
定理7对模，下列叙述是等价的：
(1)是平坦的；
(2) 对每个有限生成右理想，及包含映射，则是单同态；
(3) 是内射的。
定理8对于环，下列条件是等价的：
(1) 每个模是平坦的；
(2) 对每个元素，存在一个元素使得；
(3) 的每个循环右理想是的直和项；
(4) 的每个有限生成有理想是的直和项。
引理9 令是平坦的，表示包含映射，则下列是等价的：
(1) 是单同态；
(2)。
定理10令是平坦的，，则下列是等价的：
(1) 是平坦的；
(2) 对每个有限生成理想成立。
定理11令是投射的，，如果是平坦的，则。
推论12令是投射模，且，则。
参考资料
最新修订时间：2022-08-25 15:44
条目作者
小编
目录
概述
定义
相关性质定理
参考资料

Copyright©2024 闽ICP备2024072939号-1