群是一种只有一个运算的、比较简单的代数结构；是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。

布饶尔群亦称代数类群。域F上有限中心单代数的相似代数类所构成的群。设U是域F上有限中心单代数的全体，有限中心单代数按其相应的中心可除代数同构所定义的相似关系是等价关系。用[A]表示U中元A所在的等价类。若B(F)={[A]|A∈U}，在B(F)中规定乘法[A][B]=[AFB]，则B(F)构成一个交换群，称为域F上的布饶尔群。它是布饶尔(Brauer，R.(D.))于1929年首先引入的。布饶尔群B(F)中每个元[A]可惟一地(同构意义下)由一个可除代数决定。若A，B∈U，则AB当且仅当在B(F)中[A]=[B]且dimFA=dimFB。特别地，当F是代数闭域时，B(F)={1}。

群是一种只有一个运算的、比较简单的代数结构；是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。

设G为一个非空集合，a、b、c为它的任意元素。如果对G所定义的一种代数运算“·”(称为“乘法”，运算结果称为“乘积”)满足：

(1)封闭性，a·b∈G;

(2)结合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)对G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，则称G对于所定义的运算“·”构成一个群。例如，所有不等于零的实数，关于通常的乘法构成一个群；时针转动(关于模12加法)，构成一个群。

满足交换律的群，称为交换群。

群是数学最重要的概念之一，已渗透到现代数学的所有分支及其他学科中。凡是涉及对称，就存在群。例如，可以用研究图形在变换群下保持不变的性质，来定义各种几何学，即利用变换群对几何学进行分类。可以说，不了解群，就不可能理解现代数学。

1770年，拉格朗日在讨论代数方程根之间的置换时，首先引入群的概念，而它的名称，是伽罗华在1830年首先提出的。

单群是一类重要的群。即不含非平凡正规子群的群。若群G≠{e}，且除{e}及G本身外不再含其他的正规子群，则称G为单群。若此时G还是有限群，则称G为有限单群。有限单群的例子有：素数阶群，交错群An，n≥5。有限单群的研究是有限群论中一个十分活跃的领域。

与群论中单群类相对应的基本环类。一个环(代数)R，若只有平凡理想(即除R和零理想外不含其他理想)，则称R为弱单环或单纯环(弱单代数)。弱单环(弱单代数)可分两类：一类是R≠0，此类环(代数)称为单环(单代数)，它的幂零根为零；另一类是R=0，R称为零乘环，它的幂零根是R本身。域F上的全矩阵环是单环，也是F上的单代数。F上有限维单代数必含单位元。

中心单代数亦称正规单代数。结构较清楚的一类重要单代数。若域F上代数A的中心是F本身，则称A为中心代数(正规代数)。中心是F的F单代数称为中心单代数。每一个有单位元的单代数都是其中心上的中心代数，所以有单位元的单代数的研究可归结为对纯量扩张与中心单代数的研究。有限维单代数恒有单位元，所以恒为其中心上的中心单代数。然而域F上无限维单代数A未必有单位元，但此时A的形心是域，设为C，通常称A为C(特别地C=F时)上中心单代数。当A有单位元时，A的形心就是A的中心。任何单环都是形心上中心单代数。

可除代数是平行于除环四元数可除代数三种，这是有限维可除代数著名的弗罗贝尼乌斯结构定理。

布饶尔是美国数学家。生于德国柏林，卒于美国波士顿。1925年毕业于柏林大学，获博士学位。1925—1933年执教于哥尼斯堡大学，1927年起任不支薪讲师。1933年纳粹上台后移居美国。1933—1934年执教于肯特基大学，1934—1935年在普林斯顿高级研究所任外尔的助手。1935年起执教于多伦多大学，1946年升教授。1948—1952年在密执安大学任教授。1952年起任哈佛大学教授。1971年退休。

布饶尔1954年当选为美国全国科学院院士，1963年成为伦敦数学会荣誉会员，曾任美国数学会(1959—1960)主席。他还是加拿大皇家学会会员。曾获滑铁卢大学、芝加哥大学以及圣母大学等大学的名誉博士称号。1970年获美国国家科学奖章。

布饶尔早期研究群表示论和代数结构。曾与诺特合作证明单代数分裂域与极大子域之间的密切联系。后来他引进了域上的布饶尔群的概念，这是研究中心单代数的有力工具。1931年，他与哈塞和诺特合作证明了迪克森猜想：代数域上每一个中心单代数都是循环的。这是代数数论发展的一个高潮。1935年以后，他写了约50篇关于有限群模表示理论及其在有限单群结构中应用的论文。其中最引人注目的成就是发现了关于特征理论的新定理，使他立刻证明了阿廷L级数是亚纯的和g次单位根域是一个阶为g的群的分裂域。40年代后期他发现对合(invo-lutions)群的一些简单性质可以用来导出关于偶阶群结构的十分强的结果。进而提出了利用对合元素的中心化结构来研究单群分类的布饶尔纲领。

布饶尔曾与人合著《有限群论专集》(The Theory of Finite Groups， a Symposium，1969)。他的中国学生有段学复和曹锡华等。