在泛函分析中,巴拿赫定理是一个极为重要的工具。它允许了定义在某个向量空间上的
有界线性算子扩张到整个空间,并说明了存在“足够”的连续线性泛函,定义在每一个
赋范向量空间,使对偶空间的研究变得有趣味。
巴拿赫定理(Banach theorem)表明
函数的全变差与指标函数的(L)积分之间关系的定理。设f (x)是巨,司上的连续函数,m与M分别为f(二)在压,司上的最小值与最大值,N(y) (m镇y镇M)是方程.fCx)=y的根的个数,称N(户为巴拿赫指标函数,则N(必在[m,M]上(L)可测。
可以很容易证明,V上的每一个范数和每一个半范数都是次线性的。其它的
次线性函数也可以是很有用的。
根据(Reed and Simon, 1980)。这揭示了哈恩-巴拿赫定理与
凸性的密切联系。